Considere a função:
f(x, y)= ( definida abaixo ), & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Determine:
  1. Se f(x, y) é contínua no ponto (0,0).
  2. As derivadas parciais de f(x, y) no ponto (0,0).
  3. Se f(x, y) é diferenciável no ponto (0,0).
f(x, y)=sin (x^2-y^2)(x^2+y^2)^3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de duas maneiras diferentes: uma para todos os pontos diferentes de e outra específica para o ponto . Precisamos determinar três coisas sobre essa função no ponto :
  1. Se é contínua em .
  2. As derivadas parciais de em .
  3. Se é diferenciável em .
Para resolver esses itens, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como continuidade, derivadas parciais e diferenciabilidade de funções de várias variáveis.

Passo 2

1. Verificando a continuidade de lim(x, y) to (0,0) sin(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)^3 em .
Para uma função ser contínua em um ponto, o limite da função quando se aproxima desse ponto deve ser igual ao valor da função nesse ponto.
Queremos calcular:
E verificar se esse limite é igual a .

Passo 3

Vamos analisar o comportamento da função perto de |sin(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)^3| <= |x^2 - y^2|(x^2 + y^2)^3 . Usamos a desigualdade trigonométrica que |x^2 - y^2| <= x^2 + y^2 . Aplicando isso:
|x^2 - y^2|(x^2 + y^2)^3 <= x^2 + y^2(x^2 + y^2)^3 = 1(x^2 + y^2)^2
Agora, precisamos encontrar uma estimativa para . Sabemos que:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite de lim(x, y) to (0,0) sin(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)^3 = 0 quando .
Note que, conforme se aproxima de , se aproxima de 0, então tende ao infinito.
Isso significa que o limite original:
pois o numerador é limitado e o denominador cresce sem limites.

Passo 5

Como o limite da função quando lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = f(0,0) se aproxima de é 0, e , concluímos que:
Portanto, é contínua no ponto .
Resposta para o item 1: é contínua em .

Passo 6

2. Calculando as derivadas parciais de fx(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h em fy(0,0) = limk to 0 f(0,k) - f(0,0)k .
As derivadas parciais em são definidas por:
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 7

Primeiro, calculamos fx(0,0) = limh to 0 f(h,0) - 0h = limh to 0 sin(h^2)h^6h = limh to 0 sin(h^2)h^7 :
sin(h^2)h^7 approx h^2h^7 = 1h^5 to infty quando h to 0
Sabemos que para pequenos , , então:
Isso significa que o limite não existe finitamente.

Passo 8

Agora, calculamos fy(0,0) = limk to 0 f(0,k) - 0k = limk to 0 sin(-k^2)k^6k = limk to 0 -sin(k^2)k^7 :
-sin(k^2)k^7 approx -k^2k^7 = -1k^5 to -infty quando k to 0
Usando a mesma aproximação :
Novamente, o limite não existe finitamente.

Passo 9

Como ambas as derivadas parciais e não existem de forma finita, concluímos que:
Resposta para o item 2: As derivadas parciais de em não existem.

Passo 10

3. Verificando a diferenciabilidade de em .
Para que seja diferenciável em , é necessário que ela seja contínua em (o que já verificamos) e que as derivadas parciais existam e sejam contínuas próximas ao ponto.
No entanto, vimos que as derivadas parciais em não existem de forma finita, o que imediatamente nos diz que não é diferenciável em .
Resposta para o item 3: não é diferenciável em .

Resposta

  1. é contínua em .
  2. As derivadas parciais de em não existem.
  3. não é diferenciável em .

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