Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de duas maneiras diferentes: uma para todos os pontos diferentes de e outra específica para o ponto . Precisamos determinar três coisas sobre essa função no ponto :
Se é contínua em .
As derivadas parciais de em .
Se é diferenciável em .
Para resolver esses itens, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como continuidade, derivadas parciais e diferenciabilidade de funções de várias variáveis.
Passo 2
1. Verificando a continuidade de em .
Para uma função ser contínua em um ponto, o limite da função quando se aproxima desse ponto deve ser igual ao valor da função nesse ponto.
Queremos calcular:
E verificar se esse limite é igual a .
Passo 3
Vamos analisar o comportamento da função perto de . Usamos a desigualdade trigonométrica que . Aplicando isso:
Agora, precisamos encontrar uma estimativa para . Sabemos que:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite de lim(x, y) to (0,0) sin(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)^3 = 0 quando .
Note que, conforme se aproxima de , se aproxima de 0, então tende ao infinito.
Isso significa que o limite original:
pois o numerador é limitado e o denominador cresce sem limites.
Passo 5
Como o limite da função quando lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = f(0,0) se aproxima de é 0, e , concluímos que:
Portanto, é contínua no ponto .
Resposta para o item 1: é contínua em .
Passo 6
2. Calculando as derivadas parciais de fx(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h em fy(0,0) = limk to 0 f(0,k) - f(0,0)k .
As derivadas parciais em são definidas por:
Vamos calcular cada uma delas.
Passo 7
Primeiro, calculamos fx(0,0) = limh to 0 f(h,0) - 0h = limh to 0 sin(h^2)h^6h = limh to 0 sin(h^2)h^7 :
sin(h^2)h^7 approx h^2h^7 = 1h^5 to infty quando h to 0
Sabemos que para pequenos , , então:
Isso significa que o limite não existe finitamente.
Passo 8
Agora, calculamos fy(0,0) = limk to 0 f(0,k) - 0k = limk to 0 sin(-k^2)k^6k = limk to 0 -sin(k^2)k^7 :
-sin(k^2)k^7 approx -k^2k^7 = -1k^5 to -infty quando k to 0
Usando a mesma aproximação :
Novamente, o limite não existe finitamente.
Passo 9
Como ambas as derivadas parciais e não existem de forma finita, concluímos que:
Resposta para o item 2: As derivadas parciais de em não existem.
Passo 10
3. Verificando a diferenciabilidade de em .
Para que seja diferenciável em , é necessário que ela seja contínua em (o que já verificamos) e que as derivadas parciais existam e sejam contínuas próximas ao ponto.
No entanto, vimos que as derivadas parciais em não existem de forma finita, o que imediatamente nos diz que não é diferenciável em .