Considere a função:
Determine:
- Se
é contínua no ponto
.
- As derivadas parciais de
no ponto
.
- Se
é diferenciável no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função de duas variáveis
f(x,y)=
Temos que verificar continuidade em (0,0), depois as derivadas parciais em (0,0) via definição, e finalmente se f é diferenciável nesse ponto.
f(x,y)=
Temos que verificar continuidade em (0,0), depois as derivadas parciais em (0,0) via definição, e finalmente se f é diferenciável nesse ponto.
Passo 2
Para checar continuidade em (0,0) a gente precisa ver se
existe e é igual a f(0,0)=0. Usamos coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Então
para r pequeno, e o denominador é r^6. Logo
Como r^{-4}\to+\infty quando r\to0 (exceto em ângulos que anulam \cos2\theta), o valor de f dispara e não tende a 0 nem a um valor finito único. Isso mostra que f não é contínua em (0,0).
Passo 3
Para as derivadas parciais em (0,0) usamos a definição
mas em y=0 temos f(h,0)=\ln(1+h2)/h6\approx h2/h6=1/h^4, de modo que
Logo essa derivada não existe (é infinita). De forma análoga em x=0, a derivada em y também diverge. Portanto as derivadas parciais em (0,0) não existem como números finitos.
Passo 4
Como diferenciabilidade em (0,0) exige, no mínimo, continuidade e existência das derivadas parciais finitas em (0,0), e aqui falhamos em ambos, concluímos que f não é diferenciável em (0,0).
Resposta
- f não é contínua em (0,0). 2. As derivadas parciais em (0,0) não existem (são infinitas). 3. f não é diferenciável em (0,0).