Considere a função:
f(x, y)= ( definida abaixo ), & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Determine:
  1. Se f(x, y) é contínua no ponto (0,0).
  2. As derivadas parciais de f(x, y) no ponto (0,0).
  3. Se f(x, y) é diferenciável no ponto (0,0).
f(x, y)=ln (1+x^2-y^2)(x^2+y^2)^3

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função de duas variáveis
f(x,y)=
lnl(1+x^2-y^2r)(x^2+y^2)^3,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0)
Temos que verificar continuidade em (0,0), depois as derivadas parciais em (0,0) via definição, e finalmente se f é diferenciável nesse ponto.

Passo 2

Para checar continuidade em (0,0) a gente precisa ver se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
existe e é igual a f(0,0)=0. Usamos coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Então
lnl(1+x^2-y^2r)=lnl(1+r^2(cos^2theta-sin^2theta)r) approx r^2cos2theta
para r pequeno, e o denominador é r^6. Logo
f(r,theta)=r^2cos2theta+O(r^4)r^6=r^-4(cos2theta+O(r^2))
Como r^{-4}\to+\infty quando r\to0 (exceto em ângulos que anulam \cos2\theta), o valor de f dispara e não tende a 0 nem a um valor finito único. Isso mostra que f não é contínua em (0,0).

Passo 3

Para as derivadas parciais em (0,0) usamos a definição
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h,
mas em y=0 temos f(h,0)=\ln(1+h2)/h6\approx h2/h6=1/h^4, de modo que
f(h,0)happrox1/h^4h=1/h^5topminfty
Logo essa derivada não existe (é infinita). De forma análoga em x=0, a derivada em y também diverge. Portanto as derivadas parciais em (0,0) não existem como números finitos.

Passo 4

Como diferenciabilidade em (0,0) exige, no mínimo, continuidade e existência das derivadas parciais finitas em (0,0), e aqui falhamos em ambos, concluímos que f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

  1. f não é contínua em (0,0). 2. As derivadas parciais em (0,0) não existem (são infinitas). 3. f não é diferenciável em (0,0).

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