Considere a função:
f(x, y)= ( definida abaixo ), & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Determine:
  1. Se f(x, y) é contínua no ponto (0,0).
  2. As derivadas parciais de f(x, y) no ponto (0,0).
  3. Se f(x, y) é diferenciável no ponto (0,0).
f(x, y)=cos (x y)(1+x^2+y^2)^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que muda de definição dependendo se o ponto é ou não. A gente precisa descobrir três coisas sobre essa função no ponto :
  1. Continuidade: Se a função é contínua naquele ponto.
  2. Derivadas Parciais: Quais são as derivadas parciais de em .
  3. Diferenciabilidade: Se a função é diferenciável naquele ponto.
Pra resolver isso, vamos precisar entender conceitos de limites, continuidade, derivadas parciais e diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Vamos devagar, passo a passo!

Passo 2

1. Verificando a Continuidade em lim(x,y) to (0,0) cos(xy)(1 + x^2 + y^2)^4
A primeira coisa que a gente faz é ver se o limite de | cos(xy)(1 + x^2 + y^2)^4 | <= 1(1 + x^2 + y^2)^4 quando lim(x,y) to (0,0) cos(xy)(1 + x^2 + y^2)^4 = cos(0) = 1 se aproxima de é igual ao valor de , que é 0.
Vamos calcular o limite:
Primeiro, notamos que está sempre entre -1 e 1, porque o cosseno nunca sai desse intervalo. Então:
Quando , o denominador tende para 1. Então o limite fica:
Mas isso está diferente do valor de . Portanto, o limite não é igual ao valor da função em .

Passo 3

Resposta para a Continuidade:
Como o limite de quando é 1 e , a função não é contínua no ponto .

Passo 4

2. Calculando as Derivadas Parciais em fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h
Mesmo que a função não seja contínua em f(h,0) = cos(0)(1 + h^2 + 0)^4 = 1(1 + h^2)^4 , vamos calcular as derivadas parciais. As derivadas parciais são as taxas de variação da função em relação a cada uma das variáveis, mantendo a outra constante.
A derivada parcial em relação a fx(0,0) = limh to 0 1(1 + h^2)^4 - 0h = limh to 0 1h (1 + h^2)^4 em fy(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k é:
f(0,k) = cos(0)(1 + 0 + k^2)^4 = 1(1 + k^2)^4
Vamos calcular fy(0,0) = limk to 0 1(1 + k^2)^4 - 0k = limk to 0 1k (1 + k^2)^4 :
Então:
À medida que , tende a infinito, então a derivada parcial não existe.
Similarmente, para a derivada parcial em relação a :
Calculando :
Então:
Assim como antes, esse limite tende a infinito, então a derivada parcial não existe.

Passo 5

3. Verificando a Diferenciabilidade em
Para a função ser diferenciável em , ela precisa ser contínua nesse ponto e possuir derivadas parciais que existem e são contínuas próximas ao ponto. Mas já vimos que:
  • A função não é contínua em
  • As derivadas parciais em não existem
Portanto, a função não é diferenciável em .

Resposta

  1. A função não é contínua no ponto .
  2. As derivadas parciais de em não existem.
  3. A função não é diferenciável no ponto .

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