Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que muda de definição dependendo se o ponto é ou não. A gente precisa descobrir três coisas sobre essa função no ponto :
Continuidade: Se a função é contínua naquele ponto.
Derivadas Parciais: Quais são as derivadas parciais de em .
Diferenciabilidade: Se a função é diferenciável naquele ponto.
Pra resolver isso, vamos precisar entender conceitos de limites, continuidade, derivadas parciais e diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Vamos devagar, passo a passo!
Passo 2
1. Verificando a Continuidade em
A primeira coisa que a gente faz é ver se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor de , que é 0.
Vamos calcular o limite:
Primeiro, notamos que está sempre entre -1 e 1, porque o cosseno nunca sai desse intervalo. Então:
Quando , o denominador tende para 1. Então o limite fica:
Mas isso está diferente do valor de . Portanto, o limite não é igual ao valor da função em .
Passo 3
Resposta para a Continuidade:
Como o limite de quando é 1 e , a função não é contínua no ponto .
Passo 4
2. Calculando as Derivadas Parciais em fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h
Mesmo que a função não seja contínua em f(h,0) = cos(0)(1 + h^2 + 0)^4 = 1(1 + h^2)^4 , vamos calcular as derivadas parciais. As derivadas parciais são as taxas de variação da função em relação a cada uma das variáveis, mantendo a outra constante.
A derivada parcial em relação a fx(0,0) = limh to 0 1(1 + h^2)^4 - 0h = limh to 0 1h (1 + h^2)^4 em fy(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k é:
À medida que , tende a infinito, então a derivada parcial não existe.
Similarmente, para a derivada parcial em relação a :
Calculando :
Então:
Assim como antes, esse limite tende a infinito, então a derivada parcial não existe.
Passo 5
3. Verificando a Diferenciabilidade em
Para a função ser diferenciável em , ela precisa ser contínua nesse ponto e possuir derivadas parciais que existem e são contínuas próximas ao ponto. Mas já vimos que: