Resumo do enunciado: Temos a função de duas variáveis definida por
Queremos (1) continuidade em (0,0), (2) derivadas parciais em (0,0) e (3) diferenciabilidade em (0,0). Vamos usar limites, aproximação tan uapprox u para uto0 e definições de derivada parcial e diferenciabilidade.
Passo 2
Para testar a continuidade, calculamos o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0). Como r^2=x^2+y^2 e tan(r^2)approx r^2 perto de zero, temos
|f(x,y)|=|tan(r^2)|(1+r^2)^3<=r^2(1+r^2)^3<= r^2
Logo f(x,y)to0 quando rto0, que coincide com f(0,0)=0. Portanto f é contínua em (0,0).
Como tan(h^2)sim h^2, o quociente comporta-se como h^2/h=h, cujo limite é zero. Analogamente (\partial f/\partial y(0,0)=0.
Passo 4
Para verificar diferenciabilidade, examinamos o erro de aproximação linear. Aqui o candidato a diferencial em (0,0) é a aplicação nula já que ambas derivadas parciais são zero. Precisamos ver se
f(h,k)-0=ol(raizh^2+k^2r)
Como mostramos que f(h,k) é da ordem de r^2 com r=raizh^2+k^2, então f(h,k)/rsim rto0. Isso garante diferenciabilidade em (0,0).
Resposta
f é contínua em (0,0); \partial f/\partial x(0,0)=0 e \partial f/\partial y(0,0)=0; f é diferenciável em (0,0).