Considere a função:
f(x, y)= ( definida abaixo ), & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Determine:
  1. Se f(x, y) é contínua no ponto (0,0).
  2. As derivadas parciais de f(x, y) no ponto (0,0).
  3. Se f(x, y) é diferenciável no ponto (0,0).
f(x, y)=tan (x^2+y^2)(1+x^2+y^2)^3

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a função de duas variáveis definida por
f(x,y)=dfractanl(x^2+y^2r)l(1+x^2+y^2r)^3,&(x,y)neq(0,0),0,&(x,y)=(0,0)
Queremos (1) continuidade em (0,0), (2) derivadas parciais em (0,0) e (3) diferenciabilidade em (0,0). Vamos usar limites, aproximação tan uapprox u para uto0 e definições de derivada parcial e diferenciabilidade.

Passo 2

Para testar a continuidade, calculamos o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0). Como r^2=x^2+y^2 e tan(r^2)approx r^2 perto de zero, temos
|f(x,y)|=|tan(r^2)|(1+r^2)^3<=r^2(1+r^2)^3<= r^2
Logo f(x,y)to0 quando rto0, que coincide com f(0,0)=0. Portanto f é contínua em (0,0).

Passo 3

Para as derivadas parciais, usemos a definição
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0tan(h^2)/(1+h^2)^3h
Como tan(h^2)sim h^2, o quociente comporta-se como h^2/h=h, cujo limite é zero. Analogamente (\partial f/\partial y(0,0)=0.

Passo 4

Para verificar diferenciabilidade, examinamos o erro de aproximação linear. Aqui o candidato a diferencial em (0,0) é a aplicação nula já que ambas derivadas parciais são zero. Precisamos ver se
f(h,k)-0=ol(raizh^2+k^2r)
Como mostramos que f(h,k) é da ordem de r^2 com r=raizh^2+k^2, então f(h,k)/rsim rto0. Isso garante diferenciabilidade em (0,0).

Resposta

f é contínua em (0,0); \partial f/\partial x(0,0)=0 e \partial f/\partial y(0,0)=0; f é diferenciável em (0,0).

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