Considere a função f:(0,1] R, definida por f(x)=1x.
b) Determine f((0,1] e conclua que f não é limitada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para analisar a função f: (0,1] R definida por f(x) = 1x . O que queremos fazer aqui é descobrir qual é o conjunto de imagens dessa função, ou seja, todos os valores que f(x) pode assumir quando x varia no intervalo (0,1] . Além disso, vamos mostrar que essa função não é limitada, ou seja, que não há um número que seja maior (ou menor) do que todos os valores que a função pode assumir.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função f(x) = 1x . Essa função pega um número x no intervalo (0,1] e retorna o seu inverso. Por exemplo, se x = 0,5 , então f(0,5) = 10,5 = 2 .

Passo 3

Agora, vamos pensar no que acontece com f(x) conforme x se aproxima de 0 dentro do intervalo (0,1] . Conforme x fica menor e menor, 1x fica cada vez maior. Por exemplo:
  • Se x = 0,1 , então f(0,1) = 10
  • Se x = 0,01 , então f(0,01) = 100
  • E assim por diante…

Passo 4

Isso nos mostra que, à medida que x se aproxima de 0, f(x) cresce sem limite. Portanto, o conjunto de imagens f((0,1]) inclui todos os números reais maiores que 1, ou seja, f((0,1]) = (1, +infty) .

Passo 5

Agora, para concluir que f não é limitada, precisamos lembrar o que significa uma função ser limitada. Uma função é limitada se existe algum número M tal que para todo x no domínio, |f(x)| <= M . No nosso caso, como f(x) pode se tornar tão grande quanto quisermos (não tem um limite superior), não existe um número M que satisfaça essa condição.

Resposta

Portanto, o conjunto de imagens da função é f((0,1]) = (1, +infty) e isso mostra que f não é limitada.

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