verifique se as funções abaixo são ou não lipschitzianas.
c)
, definida por
.
c)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
, definida por
com
, é Lipschitziana. O conteúdo é o conceito de função Lipschitz e usaremos a definição baseada em derivada limitada.
Passo 2
O critério de diferenciabilidade diz que, se
é diferenciável num intervalo e
é limitada nesse intervalo, então
é Lipschitziana com constante
.
Passo 3
Calculamos a derivada:
Como
, temos
Logo,
.
Passo 4
Concluímos que existe
tal que para todo
vale
Portanto,
é Lipschitziana em
com constante
.
Resposta
A função é Lipschitziana em
com constante de Lipschitz
.