verifique se as funções abaixo são ou não lipschitzianas.
c) f:(a,+infty) R, definida por f(x)=1x com a>0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f:(a,infty)toR, definida por f(x)=1/x com a>0, é Lipschitziana. O conteúdo é o conceito de função Lipschitz e usaremos a definição baseada em derivada limitada.

Passo 2

O critério de diferenciabilidade diz que, se f é diferenciável num intervalo e f' é limitada nesse intervalo, então f é Lipschitziana com constante L=sup|f'|.

Passo 3

Calculamos a derivada:
f'(x) = -1x^2
Como x>a>0, temos
|f'(x)| = 1x^2 <= 1a^2
Logo, supx>a|f'(x)|=1/a^2.

Passo 4

Concluímos que existe L=1/a^2 tal que para todo x,y>a vale
|f(x)-f(y)| <= L,|x-y|
Portanto, f é Lipschitziana em (a,infty) com constante L=1/a^2.

Resposta

A função é Lipschitziana em (a,infty) com constante de Lipschitz L = 1/a^2.

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