Integrar a equação diferencial:
y^prime prime+y^prime-6 y=0

Passo 1

Beleza, a gente tem que resolver a equação diferencial . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente das equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução tem a forma , onde é uma constante que precisamos descobrir. Isso é uma técnica comum para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.

Passo 3

Agora, vamos derivar y' = re^rt para encontrar y'' = r^2 e^rt e r^2 e^rt + r e^rt - 6 e^rt = 0 :
Substituindo essas expressões na equação original:

Passo 4

Como r^2 + r - 6 = 0 nunca é zero, podemos dividir toda a equação por , ficando:

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática para resolver: r = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
r = -1 pm raiz1 + 242 = -1 pm raiz252
Onde r = -1 pm 52 , e . Substituindo:

Passo 6

Isso nos dá duas raízes:
r1 = -1 + 52 = 2
r2 = -1 - 52 = -3

Passo 7

Como temos duas raízes distintas y(t) = C1 e^2t + C2 e^-3t e , a solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes que podem ser determinadas por condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é .

Exercícios relacionados