Fixado n in N, considere a função f:[0,+infty) [0,+infty) definida por f(x)=x^n.
d) O que acontece no caso particular em que n ímpar?

Passo 1

O enunciado fixa um natural n e define a função potência f:[0,+infty)to[0,+infty) por f(x)=x^n. O conteúdo aqui envolve estudar monotonicidade, injetividade, sobrejetividade e inversão de funções potenciais; vamos precisar usar derivadas básicas (quando conveniente) e a definição de função inversa.

Passo 2

Para qualquer ninN, note que, em [0,+infty), a derivada de f(x)=x^n satisfaz
f'(x)=n,x^n-1>=0
Isso mostra que f é estritamente crescente em [0,+infty), logo é injetiva nesse intervalo.

Passo 3

Como f(0)=0 e limxto+inftyf(x)=+infty, a função atinge todo valor em [0,+infty). Portanto f é bijetora de [0,+infty) onto [0,+infty). A inversa é dada por
f^-1(y)=y^1/n, y>=0

Passo 4

No caso particular em que n é ímpar podemos estender naturalmente o domínio de f(x)=x^n para todo R. Nesse caso:
  1. A derivada continua sendo f'(x)=n x^n-1>0 para todo x, então f:RtoR é estritamente crescente e bijetora.
  2. A inversa fica definida para todo yinR por
f^-1(y)=raiz[n]y,
onde esta raiz é única e real mesmo para $y<0.

Passo 5

Portanto, quando n é ímpar, a função f(x)=x^n (estendida a R) é bijetora de R em R e toda equação x^n=a tem exatamente uma solução real, dada por x=raiz[n]a.

Resposta

Se n é ímpar, podemos estender f(x)=x^n a todo R, obtendo uma bijeção f:RtoR cuja inversa é f^-1(y)=raiz[n]y valida para qualquer yinR, garantindo que x^n=a tenha sempre uma única solução real.

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