Fixado
, considere a função
definida por
.
d) O que acontece no caso particular em que
ímpar?
d) O que acontece no caso particular em que
Passo 1
O enunciado fixa um natural
e define a função potência
por
. O conteúdo aqui envolve estudar monotonicidade, injetividade, sobrejetividade e inversão de funções potenciais; vamos precisar usar derivadas básicas (quando conveniente) e a definição de função inversa.
Passo 2
Para qualquer
, note que, em
, a derivada de
satisfaz
Isso mostra que
é estritamente crescente em
, logo é injetiva nesse intervalo.
Passo 3
Como
e
, a função atinge todo valor em
. Portanto
é bijetora de
onto
. A inversa é dada por
Passo 4
No caso particular em que
é ímpar podemos estender naturalmente o domínio de
para todo
. Nesse caso:
- A derivada continua sendo
para todo , então é estritamente crescente e bijetora. - A inversa fica definida para todo
por
onde esta raiz é única e real mesmo para $y<0.
Passo 5
Portanto, quando
é ímpar, a função
(estendida a
) é bijetora de
em
e toda equação
tem exatamente uma solução real, dada por
.
Resposta
Se
é ímpar, podemos estender
a todo
, obtendo uma bijeção
cuja inversa é
valida para qualquer
, garantindo que
tenha sempre uma única solução real.