(2,5) Esboce o gráfico das funções indicadas abaixo. g(x)=\left|x^{2}+2 x-3\right|
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
Pede: esboçar (desenhar) o gráfico da função g(x)=\left|x^{2}+2x-3\right|.
Dado: a expressão dentro do módulo é o polinômio quadrático x^{2}+2x-3.
Objetivo do esboço: identificar pontos-chave (raízes, vértice, intercepto com eixo y), entender onde o polinômio é negativo para refletir a parte negativa para cima, e descrever a forma final do gráfico.
Passo 2
Estudar o polinômio interno p(x)=x^{2}+2x-3. Encontrar as raízes (onde p(x)=0):
x^{2}+2x-3=0.
Usa-se fórmula quadrática ou fatoração. Pela fórmula:
\Delta = 2^{2}-4\cdot1\cdot(-3)=4+12=16,
x=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{-2\pm4}{2}.
Portanto as raízes são
x_{1}=1,\qquad x_{2}=-3.
Logo p(x)=(x-1)(x+3).
Passo 3
Calcular o vértice da parábola p(x). Para p(x)=ax^{2}+bx+c com a=1 e b=2, a abscissa do vértice é
x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2}=-1.
A ordenada do vértice:
p(-1)=(-1)^{2}+2(-1)-3=1-2-3=-4.
Então o vértice de p é (-1,-4). Isso significa que a parábola original abre para cima e atinge valor negativo mínimo -4 em x=-1.
Passo 4
Analisar o sinal de p(x) para saber onde a função dentro do módulo é positiva ou negativa:
Como as raízes são x=-3 e x=1 e a parábola abre para cima, temos
p(x)>0 para x<-3 e para x>1,
p(x)<0 para -3<x<1,
p(x)=0 em x=-3 e x=1.
Passo 5
Usar a definição do valor absoluto: \left|u\right|=u\) se \(u\ge0\) e \(\left|u\right|=-u\) se \(u<0\). Assim, escrever \(g\) de forma peça-a-peça:
\[g(x)=\begin{cases} x^{2}+2x-3, & x\le -3,\\[6pt] -(x^{2}+2x-3)=-x^{2}-2x+3, & -3<x<1,\\[6pt] x^{2}+2x-3, & x\ge 1. \end{cases}
Observação: nos pontos x=-3\] e \(x=1 ambas as expressões coincidem com 0, então a função é contínua.]
Passo 6
Calcular pontos úteis para o esboço:
Raízes: g(-3)=0, g(1)=0 (peguei as raízes da fatoração).
Vértice do gráfico de g: como p(-1)=-4, temos g(-1)=|-4|=4. Assim o ponto mais baixo da parte refletida é (-1,4) (isso é o vértice da “tampa” resultante no intervalo onde p<0).
Intercepto com o eixo y: g(0)=|0^{2}+0-3|=3, então o ponto (0,3).
Alguns pontos adicionais para referência:
g(-2)=|4-4-3|=|-3|=3.
g(2)=|4+4-3|=5.
g(-4)=|16-8-3|=|5|=5.
Esses pontos ajudam a posicionar a curvatura e a simetria.
Passo 7
Descrever a forma do gráfico e a diferentiabilidade:
Para x\le -3 e para x\ge 1 o gráfico é a parábola original y=x^{2}+2x-3 (abertura para cima).
Para -3<x<1 a porção que antes estava abaixo do eixo x é refletida para cima; o trecho interno é a parábola invertida y=-x^{2}-2x+3, que tem vértice em (-1,4).
Nos pontos x=-3 e x=1 a função tem cantos (não é diferenciável nesses pontos), porque a derivada do interno p'(x)=2x+2 tem valores p'(-3)=-4 e p'(1)=4, distintos de zero; ao aplicar módulo, as tangentes das duas peças não coincidem, formando um “v” suave invertido nesses pontos.
Comportamento para extremos: quando x\to\pm\infty, g(x)\sim x^{2}\to+\infty.
Passo 8
Instruções práticas para esboçar (passo-a-passo no papel):
Marque no eixo x os pontos x=-3, x=-1 e x=1.
Marque os pontos (-3,0), (1,0) e o vértice refletido (-1,4). Marque também (0,3) e (2,5) / (-4,5) para guiar a curvatura.
Desenhe a parábola original y=x^{2}+2x-3 só para referência (ela passa por (-3,0), (-1,-4), (1,0)).
Em seguida, mantenha as partes da parábola que estão acima do eixo x (isto é, para x\le-3 e x\ge1).
Para o intervalo -3<x<1, desenhe a curva refletida para cima (uma parábola com vértice (-1,4) passando por (-3,0) e (1,0)).
Garanta continuidade nos pontos (-3,0) e (1,0), mas desenhe cantos (quebra de inclinação) nesses pontos.
Etiquete os pontos-chave e trace setas indicando que as ramificações vão para +\infty nas extremidades.