(2,5) Esboce o gráfico das funções indicadas abaixo.
g(x)=\left|x^{2}+2 x-3\right|

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede: esboçar (desenhar) o gráfico da função g(x)=\left|x^{2}+2x-3\right|.
  • Dado: a expressão dentro do módulo é o polinômio quadrático x^{2}+2x-3.
  • Objetivo do esboço: identificar pontos-chave (raízes, vértice, intercepto com eixo y), entender onde o polinômio é negativo para refletir a parte negativa para cima, e descrever a forma final do gráfico.

Passo 2

Estudar o polinômio interno p(x)=x^{2}+2x-3. Encontrar as raízes (onde p(x)=0):
x^{2}+2x-3=0.
Usa-se fórmula quadrática ou fatoração. Pela fórmula:
\Delta = 2^{2}-4\cdot1\cdot(-3)=4+12=16,
x=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{-2\pm4}{2}.
Portanto as raízes são
x_{1}=1,\qquad x_{2}=-3.
Logo p(x)=(x-1)(x+3).

Passo 3

Calcular o vértice da parábola p(x). Para p(x)=ax^{2}+bx+c com a=1 e b=2, a abscissa do vértice é
x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2}=-1.
A ordenada do vértice:
p(-1)=(-1)^{2}+2(-1)-3=1-2-3=-4.
Então o vértice de p é (-1,-4). Isso significa que a parábola original abre para cima e atinge valor negativo mínimo -4 em x=-1.

Passo 4

Analisar o sinal de p(x) para saber onde a função dentro do módulo é positiva ou negativa:
  • Como as raízes são x=-3 e x=1 e a parábola abre para cima, temos
    • p(x)>0 para x<-3 e para x>1,
    • p(x)<0 para -3<x<1,
    • p(x)=0 em x=-3 e x=1.

Passo 5

Usar a definição do valor absoluto: \left|u\right|=u\) se \(u\ge0\) e \(\left|u\right|=-u\) se \(u<0\). Assim, escrever \(g\) de forma peça-a-peça: \[g(x)=\begin{cases} x^{2}+2x-3, & x\le -3,\\[6pt] -(x^{2}+2x-3)=-x^{2}-2x+3, & -3<x<1,\\[6pt] x^{2}+2x-3, & x\ge 1. \end{cases}
Observação: nos pontos x=-3\] e \(x=1 ambas as expressões coincidem com 0, então a função é contínua.]

Passo 6

Calcular pontos úteis para o esboço:
  • Raízes: g(-3)=0, g(1)=0 (peguei as raízes da fatoração).
  • Vértice do gráfico de g: como p(-1)=-4, temos g(-1)=|-4|=4. Assim o ponto mais baixo da parte refletida é (-1,4) (isso é o vértice da “tampa” resultante no intervalo onde p<0).
  • Intercepto com o eixo y: g(0)=|0^{2}+0-3|=3, então o ponto (0,3).
  • Alguns pontos adicionais para referência:
    • g(-2)=|4-4-3|=|-3|=3.
    • g(2)=|4+4-3|=5.
    • g(-4)=|16-8-3|=|5|=5.
      Esses pontos ajudam a posicionar a curvatura e a simetria.

Passo 7

Descrever a forma do gráfico e a diferentiabilidade:
  • Para x\le -3 e para x\ge 1 o gráfico é a parábola original y=x^{2}+2x-3 (abertura para cima).
  • Para -3<x<1 a porção que antes estava abaixo do eixo x é refletida para cima; o trecho interno é a parábola invertida y=-x^{2}-2x+3, que tem vértice em (-1,4).
  • Nos pontos x=-3 e x=1 a função tem cantos (não é diferenciável nesses pontos), porque a derivada do interno p'(x)=2x+2 tem valores p'(-3)=-4 e p'(1)=4, distintos de zero; ao aplicar módulo, as tangentes das duas peças não coincidem, formando um “v” suave invertido nesses pontos.
  • Comportamento para extremos: quando x\to\pm\infty, g(x)\sim x^{2}\to+\infty.

Passo 8

Instruções práticas para esboçar (passo-a-passo no papel):
  1. Marque no eixo x os pontos x=-3, x=-1 e x=1.
  2. Marque os pontos (-3,0), (1,0) e o vértice refletido (-1,4). Marque também (0,3) e (2,5) / (-4,5) para guiar a curvatura.
  3. Desenhe a parábola original y=x^{2}+2x-3 só para referência (ela passa por (-3,0), (-1,-4), (1,0)).
  4. Em seguida, mantenha as partes da parábola que estão acima do eixo x (isto é, para x\le-3 e x\ge1).
  5. Para o intervalo -3<x<1, desenhe a curva refletida para cima (uma parábola com vértice (-1,4) passando por (-3,0) e (1,0)).
  6. Garanta continuidade nos pontos (-3,0) e (1,0), mas desenhe cantos (quebra de inclinação) nesses pontos.
  7. Etiquete os pontos-chave e trace setas indicando que as ramificações vão para +\infty nas extremidades.

Resposta

g(x)=\begin{cases} x^{2}+2x-3, & x\le -3,\\[6pt] -x^{2}-2x+3, & -3<x<1,\\[6pt] x^{2}+2x-3, & x\ge 1, \end{cases}
Pontos importantes: (-3,0), (1,0), vértice da parte refletida (-1,4), intercepto com y: (0,3).]

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