(2,5) Determine o domínio das funções indicadas abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar o domínio de
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O numerador é
(está definido para todo ). - O denominador é
. Para que a expressão seja um número real e válida como denominador, duas condições devem valer simultaneamente: - o radicando
precisa ser maior ou igual a zero para a raiz quadrada ser real; - o valor da raiz não pode ser zero, porque está no denominador (divisão por zero é proibida).
- o radicando
- A resolução começa a partir dessas condições.
Passo 2
Traduzindo as duas condições acima em uma só condição prática: precisamos de
Expliquei: não usamos
porque
deixaria o denominador zero; então exigimos estritamente
.
Passo 3
Resolver a inequação
. Multiplicando os fatores obtemos
logo a inequação é
A solução de
é
, isto é,
Passo 4
Verificação rápida por teste de sinais (para fixar a ideia): escolha pontos em cada intervalo determinado pelos zeros
e
:
- Para
: (rejeita o intervalo ). - Para
: (aceita o intervalo ). - Para
: (aceita o intervalo ).
Nos pontoso radicando é zero e, portanto, o denominador seria zero — esses pontos são excluídos.
Também checamos o numerador:
é definido para todo
, então não reduz ainda mais o domínio.
Passo 5
Conclusão: o domínio de
é o conjunto dos
tais que
ou
; em notação de intervalo,