(2,5) Determine o domínio das funções indicadas abaixo.
g(x)=\frac{x+2}{\sqrt{(x+3)(x-3)}}

Passo 1

O enunciado dá a função g(x)=\dfrac{x+2}{\sqrt{(x+3)(x-3)}} e pede: determinar o domínio de g.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O numerador é x+2 (está definido para todo x\in\mathbb{R}).
  • O denominador é \sqrt{(x+3)(x-3)}. Para que a expressão seja um número real e válida como denominador, duas condições devem valer simultaneamente:
    1. o radicando (x+3)(x-3) precisa ser maior ou igual a zero para a raiz quadrada ser real;
    2. o valor da raiz não pode ser zero, porque está no denominador (divisão por zero é proibida).
  • A resolução começa a partir dessas condições.

Passo 2

Traduzindo as duas condições acima em uma só condição prática: precisamos de
(x+3)(x-3)>0.
Expliquei: não usamos "\ge 0" porque "\sqrt{0}=0" deixaria o denominador zero; então exigimos estritamente >0.

Passo 3

Resolver a inequação (x+3)(x-3)>0. Multiplicando os fatores obtemos
(x+3)(x-3)=x^2-9,
logo a inequação é
x^2-9>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2>9.
A solução de x^2>9 é |x|>3, isto é,
x<-3\quad\text{ou}\quad x>3.

Passo 4

Verificação rápida por teste de sinais (para fixar a ideia): escolha pontos em cada intervalo determinado pelos zeros -3 e 3:
  • Para x=0: (0+3)(0-3)=3\cdot(-3)=-9<0 (rejeita o intervalo (-3,3)).
  • Para x=4: (4+3)(4-3)>0 (aceita o intervalo (3,\infty)).
  • Para x=-4: (-4+3)(-4-3)>0 (aceita o intervalo (-\infty,-3)).
    Nos pontos x=\pm 3 o radicando é zero e, portanto, o denominador seria zero — esses pontos são excluídos.
Também checamos o numerador: x+2 é definido para todo x, então não reduz ainda mais o domínio.

Passo 5

Conclusão: o domínio de g é o conjunto dos x tais que x<-3 ou x>3; em notação de intervalo,
(-\infty,-3)\cup(3,\infty).

Resposta

(-\infty,-3)\cup(3,\infty)

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