Considere a função f definida por:
Calcule as derivadas parciais primeiras f(x, y)=ll x^2 y^4x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0) e fx em fy;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular as derivadas parciais primeiras de uma função f(x, y) no ponto (0,0). O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais, e para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de f em relação a x, denotada por fx, mede como a função muda quando mudamos apenas o x, mantendo o y constante. Similarmente, fy mede a mudança em y. Para calcular essas derivadas no ponto (0,0), vamos usar a definição de derivada parcial:
fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0, 0)h
fy(0,0) = limh to 0 f(0, h) - f(0, 0)h

Passo 3

Vamos calcular fx(0,0) primeiro. Substituindo na fórmula:
fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0, 0)h
Sabemos que quando y = 0, a função f(x, y) fica:
f(x, 0) = x^2 cdot 0^4x^2 + 0^2 = 0x^2 = 0
Então:
fx(0,0) = limh to 0 0 - 0h = limh to 0 0 = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular fy(0,0). Usando a definição:
fy(0,0) = limh to 0 f(0, h) - f(0, 0)h
Quando x = 0, a função fica:
f(0, y) = 0^2 cdot y^40^2 + y^2 = 0y^2 = 0
Então:
fy(0,0) = limh to 0 0 - 0h = limh to 0 0 = 0

Resposta

As derivadas parciais em (0,0) são fx(0,0) = 0 e fy(0,0) = 0.

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