Considere a função
definida por:
Calcule as derivadas parciais primeiras
e
em
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular as derivadas parciais primeiras de uma função
no ponto
. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais, e para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de
em relação a
, denotada por
, mede como a função muda quando mudamos apenas o
, mantendo o
constante. Similarmente,
mede a mudança em
. Para calcular essas derivadas no ponto
, vamos usar a definição de derivada parcial:
Passo 3
Vamos calcular
primeiro. Substituindo na fórmula:
Sabemos que quando
, a função
fica:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Usando a definição:
Quando
, a função fica:
Então:
Resposta
As derivadas parciais em
são
e
.