Considere a função
definida por:
Verifique se
é continua em
. Justifique sua resposta:
Passo 1
Vamos verificar se a função $ f(x, y) $ é contínua no ponto $ (0,0) $. A função dada é:
Para isso, precisamos analisar o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ e ver se esse limite é igual a $ f(0,0) = 0 $. Vamos usar conceitos de limite em várias direções e coordenadas polares para facilitar a análise.
Passo 2
Primeiro, vamos compreender o que significa continuidade no ponto $ (0,0) $. Uma função $ f(x, y) $ é contínua em $ (0,0) $ se:
No nosso caso, queremos verificar se:
Se conseguirmos mostrar que esse limite é 0, então $ f $ será contínua em $ (0,0) $.
Passo 3
Vamos usar coordenadas polares para simplificar a análise do limite. Em coordenadas polares, $ x = r \cos(\theta) $ e $ y = r \sin(\theta) $, onde $ r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ e $ \theta $ é o ângulo.
Substituindo na função:
Passo 4
Agora, queremos calcular o limite de $ f(r, \theta) $ quando $ r \to 0 $:
Como $ \cos^{2}(\theta) $ e $ \sin^{4}(\theta) $ são funções limitadas (sempre entre 0 e 1), o termo $ r^{4} $ tende a 0 quando $ r $ tende a 0.
Passo 5
Portanto, o limite é:
Isso significa que:
Que é igual a $ f(0,0) $.
Resposta
A função $ f $ é contínua em $ (0,0) $, pois o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ é igual a $ f(0,0) = 0 $.