Considere a função f definida por:
Verifique se f(x, y)=ll x^2 y^4x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0) é continua em f. Justifique sua resposta:

Passo 1

Vamos verificar se a função $ f(x, y) $ é contínua no ponto $ (0,0) $. A função dada é:
f(x, y)
Para isso, precisamos analisar o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ e ver se esse limite é igual a $ f(0,0) = 0 $. Vamos usar conceitos de limite em várias direções e coordenadas polares para facilitar a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos compreender o que significa continuidade no ponto $ (0,0) $. Uma função $ f(x, y) $ é contínua em $ (0,0) $ se:
(0,0)
No nosso caso, queremos verificar se:
f(x, y)
Se conseguirmos mostrar que esse limite é 0, então $ f $ será contínua em $ (0,0) $.

Passo 3

Vamos usar coordenadas polares para simplificar a análise do limite. Em coordenadas polares, $ x = r \cos(\theta) $ e $ y = r \sin(\theta) $, onde $ r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ e $ \theta $ é o ângulo.
Substituindo na função:
x = r cos(theta)

Passo 4

Agora, queremos calcular o limite de $ f(r, \theta) $ quando $ r \to 0 $:
f(r, theta)
Como $ \cos^{2}(\theta) $ e $ \sin^{4}(\theta) $ são funções limitadas (sempre entre 0 e 1), o termo $ r^{4} $ tende a 0 quando $ r $ tende a 0.

Passo 5

Portanto, o limite é:
limr to 0 r^4 cos^2(theta) sin^4(theta) = 0
Isso significa que:
lim(x, y) to (0,0) x^2 y^4x^2+y^2 = 0
Que é igual a $ f(0,0) $.

Resposta

A função $ f $ é contínua em $ (0,0) $, pois o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $ é igual a $ f(0,0) = 0 $.

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