Calcule o valor dos seguintes limites:
lim h 0 (x-h)^3-x^3h

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limhto0(x-h)^3 - x^3h. O conteúdo envolvido é o de limites de quocientes de diferenças, que aparece em derivadas. Vamos precisar usar expansão binomial para (x-h)^3 e depois simplificar o quociente.

Passo 2

Começamos aplicando a fórmula do binômio de Newton em (x - h)^3:
(x - h)^3 = x^3 - 3x^2h + 3xh^2 - h^3

Passo 3

Substituímos a expansão no numerador e subtraímos x^3:
(x-h)^3 - x^3 = l(x^3 - 3x^2h + 3xh^2 - h^3r) - x^3 = -3x^2h + 3xh^2 - h^3

Passo 4

Agora escrevemos o quociente completo e fatoramos h no numerador para poder cancelar com o denominador:
-3x^2h + 3xh^2 - h^3h = hl(-3x^2 + 3xh - h^2r)h = -3x^2 + 3xh - h^2

Passo 5

Por fim, tomamos o limite quando h to 0. Os termos com h e h^2 vão a zero, sobrando:
limhto0l(-3x^2 + 3xh - h^2r) = -3x^2

Resposta

-3x^2

Exercícios relacionados