Considere a função f definida por
f(x)=cl x^3-x^2+x-1x^2+x+1 & se x >= 0, e^x sin (x) & se x<0
  1. [2.0 pontos] Onde f é contínua? Justifique com detalhes sua resposta!

Passo 1

O enunciado pede pra gente estudar a continuidade da função f em todo o eixo real, onde f é dada por duas “partes”: uma para x<0 e outra para x≥0. O conteúdo é continuidade de funções e vamos precisar usar propriedades de funções contínuas (composições, quocientes) e limites em pontos de fronteira.

Passo 2

Para x<0 temos f(x)=e^x·sin(x). Como exponencial e seno são funções contínuas e o produto de funções contínuas é contínuo, f é contínua em todo o intervalo (−∞,0).

Passo 3

Para x≥0 temos f(x)= x^3 - x^2 + x - 1x^2 + x + 1. Como numerador e denominador são polinômios (contínuos) e o denominador nunca é zero (discriminante negativo), esse quociente é contínuo em [0,∞).

Passo 4

Falta checar o ponto de transição x=0. Calculamos os limites de cada lado:
limxto0^- e^xsin x = e^0sin0 = 0,
limxto0^+ x^3 - x^2 + x - 1x^2 + x + 1 = -11 = -1
Por outro lado, f(0) (pela definição de x≥0) vale f(0)=(-1)/1=-1. Como o limite pela esquerda (0) é diferente do limite pela direita (−1), f não é contínua em x=0.

Passo 5

Portanto, f é contínua para todo x≠0 e descontínua em x=0.

Resposta

f é contínua em (−∞,0) ∪ (0,∞) e descontínua em x=0.

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