Considere a função
definida por
- [2.0 pontos] Onde
é contínua? Justifique com detalhes sua resposta!
Passo 1
O enunciado pede pra gente estudar a continuidade da função f em todo o eixo real, onde f é dada por duas “partes”: uma para x<0 e outra para x≥0. O conteúdo é continuidade de funções e vamos precisar usar propriedades de funções contínuas (composições, quocientes) e limites em pontos de fronteira.
Passo 2
Para x<0 temos f(x)=e^x·sin(x). Como exponencial e seno são funções contínuas e o produto de funções contínuas é contínuo, f é contínua em todo o intervalo (−∞,0).
Passo 3
Para x≥0 temos f(x)=
. Como numerador e denominador são polinômios (contínuos) e o denominador nunca é zero (discriminante negativo), esse quociente é contínuo em [0,∞).
Passo 4
Falta checar o ponto de transição x=0. Calculamos os limites de cada lado:
Por outro lado, f(0) (pela definição de x≥0) vale
. Como o limite pela esquerda (0) é diferente do limite pela direita (−1), f não é contínua em x=0.
Passo 5
Portanto, f é contínua para todo x≠0 e descontínua em x=0.
Resposta
f é contínua em (−∞,0) ∪ (0,∞) e descontínua em x=0.