Considere a função f definida por
f(x)=cl x^3-x^2+x-1x^2+x+1 & se x >= 0, e^x sin (x) & se x<0
  1. [2.0 pontos] Determine todos os zeros de f.

Passo 1

O enunciado apresenta a função por partes
f(x)=x^3 - x^2 + x -1x^2 + x +1&se x>=0,e^xsin(x)&se x<0
Precisamos achar todos os pontos em que f(x)=0.

Passo 2

Para o ramo x>=0, como o denominador x^2+x+1 nunca se anula (discriminante negativo), a única forma de f(x)=0 é zerar o numerador. Observe que
x^3 - x^2 + x -1 = (x-1)(x^2+1)
Então o único zero real deste polinômio é x=1, que está de acordo com a condição x>=0.

Passo 3

Para o ramo x<0, temos f(x)=e^xsin(x). Como e^x>0 para todo x, a equação f(x)=0 vira
sin(x)=0,
o que ocorre em x=kpi, kinZ. Como queremos x<0, tomamos k=-1,-2,-3,dots, ou seja, x=-npi com n=1,2,3,dots.

Resposta

Os zeros de f são
x=1 e x=-npi para n=1,2,3,dots.

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