Encontre todas os números complexos
tais que:
Em cada um dos exemplos acima represente todos as soluções no plano complexo.
Em cada um dos exemplos acima represente todos as soluções no plano complexo.
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os números complexos
tais que
. O conteúdo principal é extração de raízes de números complexos usando a forma polar e o Teorema de De Moivre.
Passo 2
Primeiro vamos escrever
em forma polar. Como
tem módulo 1 e argumento
(mais quaisquer múltiplos de
), temos
Passo 3
Para extrair a quarta raiz, usamos a fórmula geral: se
, então as
raízes de
são
Passo 4
Aplicando com
,
e
obtemos, para
:
Passo 5
Assim as quatro soluções são
Passo 6
No plano complexo, essas raízes aparecem como quatro pontos sobre o círculo unitário, posicionados nos ângulos
e
.
Resposta
As soluções são
ou, de forma explícita,