Encontre todas os números complexos z tais que:
z^4=i
Em cada um dos exemplos acima represente todos as soluções no plano complexo.

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os números complexos z tais que z^4 = i. O conteúdo principal é extração de raízes de números complexos usando a forma polar e o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Primeiro vamos escrever i em forma polar. Como i tem módulo 1 e argumento tfracpi2 (mais quaisquer múltiplos de 2pi), temos
i = expl(i(tfracpi2 + 2pi k)r), k in Z

Passo 3

Para extrair a quarta raiz, usamos a fórmula geral: se w = rexp(itheta), então as n raízes de w são
zk = r^1/nexpl(itfractheta+2pi knr), k=0,1,dots,n-1

Passo 4

Aplicando com r=1, theta=tfracpi2 e n=4 obtemos, para k=0,1,2,3:
zk = expl(itfractfracpi2+2pi k4r) = expl(i(tfracpi8 + tfracpi k2)r)

Passo 5

Assim as quatro soluções são
z0 = expl(itfracpi8r), z1 = expl(itfrac5pi8r), z2 = expl(itfrac9pi8r), z3 = expl(itfrac13pi8r)

Passo 6

No plano complexo, essas raízes aparecem como quatro pontos sobre o círculo unitário, posicionados nos ângulos tfracpi8,tfrac5pi8,tfrac9pi8 e tfrac13pi8.

Resposta

As soluções são
z = cosl(tfracpi8 + tfracpi k2r) + isinl(tfracpi8 + tfracpi k2r), k=0,1,2,3,
ou, de forma explícita,
expl(itfracpi8r),;expl(itfrac5pi8r),;expl(itfrac9pi8r),;expl(itfrac13pi8r)

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