Considere a função f definida por
f(x)=cl x^3-x^2+x-1x^2+x+1 & se x >= 0, e^x sin (x) & se x<0
  1. [2.0 pontos] Calcule, caso exista, o limite: lim x 0 f(x) / x.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)=x^3-x^2+x-1x^2+x+1,&x>=0,e^xsin x,&x<0
Precisamos calcular limxto0f(x)x, o que envolve analisar os limites laterais direito e esquerdo.

Passo 2

Para x>=0, usamos
f(x)=x^3-x^2+x-1x^2+x+1
Fatorando o numerador:
x^3-x^2+x-1=(x-1)(x^2+1),
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f(x)=(x-1)(x^2+1)x^2+x+1
Quando xto0^+, temos f(x)to-1. Então
f(x)xsim-1xto-infty,
ou seja, não há limite finito à direita.

Passo 3

Para x<0,
f(x)x=e^xsin xx=e^xcdotsin xx
Sabendo que limxto0^-e^x=1 e limxto0^-sin xx=1, obtemos
limxto0^-f(x)x=1cdot1=1

Passo 4

Como o limite à direita diverge para -infty e o limite à esquerda vale 1, os dois não coincidem. Portanto o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe.

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