Considere a função f definida por
f(x)=cl x^3-x^2+x-1x^2+x+1 & se x >= 0, e^x sin (x) & se x<0
  1. [2.0 pontos] Onde f é contínua? Justifique com detalhes sua resposta!
  2. [2.0 pontos] Calcule, caso exista, o limite: lim x 0 f(x) / x.
  3. [2.0 pontos] Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de f em P=(1,0x).
  4. [2.0 pontos] Determine todos os zeros de f.
  5. [2.0 pontos] O gráfico de f admite assíntota(s) horizontal(is)/vertical(is)? Justifique com detalhes sua resposta! .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado do exercício! Temos uma função f(x)=cl x^3-x^2+x-1x^2+x+1 & se x >= 0, e^x sin (x) & se x < 0 definida de forma diferente para valores de positivos e negativos:
Nosso objetivo é responder cinco perguntas sobre essa função, que envolvem conceitos como continuidade, limites, reta tangente, zeros da função e assíntotas. Para resolver tudo isso, vamos precisar entender noções básicas de cálculo, como limites, derivadas e análise de funções.

Passo 2

1. Onde f(x) = x^3-x^2+x-1x^2+x+1 é contínua? Justifique com detalhes sua resposta!
Primeiro, precisamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em limx to 0^- f(x) = limx to 0^- e^x sin(x) = e^0 cdot sin(0) = 1 cdot 0 = 0 se três condições forem satisfeitas:
  1. limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ x^3-x^2+x-1x^2+x+1 = 0 - 0 + 0 -10 + 0 +1 = -11 = -1 está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Vamos analisar a continuidade da função em todo o seu domínio.
Para , a função é uma razão de polinômios:
O denominador nunca é zero para , pois para todo . Portanto, é contínua para .
Para , a função é . Ambas as funções e são contínuas para todo , então também é contínua para .
Agora, o ponto crítico é . Precisamos verificar se a função é contínua nesse ponto.
Calculamos:
Como e , os limites laterais não são iguais. Portanto, o limite não existe, o que significa que não é contínua em .

Passo 3

2. Calcule, caso exista, o limite: f(x) = x^3-x^2+x-1x^2+x+1 .
Vamos calcular o limite de f(x)x = x^3-x^2+x-1x^2+x+1x = x^3-x^2+x-1x(x^2+x+1) quando limx to 0^+ x^3-x^2+x-1x(x^2+x+1) = 0 - 0 + 0 -10 cdot (0 + 0 +1) = -10 = -infty se aproxima de 0. Precisamos considerar os lados esquerdo e direito de 0 separadamente.
Primeiro, para f(x) = e^x sin(x) :
f(x)x = e^x sin(x)x
Então,
limx to 0^- e^x sin(x)x = 1 cdot 1 = 1
Calculando o limite quando :
Agora, para :
Então,
Calculando o limite quando :
Sabemos que , e tende a 1 quando . Portanto,
Como os limites laterais não são iguais ( e ), o limite geral não existe.

Passo 4

3. Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de f(1) = 1^3-1^2+1-11^2+1+1 = 1 -1 +1 -11 +1 +1 = 03 = 0 em f(x) = x^3-x^2+x-1x^2+x+1 .
Primeiro, precisamos verificar se f'(x) = (3x^2 - 2x +1)(x^2+x+1) - (x^3-x^2+x-1)(2x +1)(x^2+x+1)^2 está no gráfico de f'(1) = (3(1)^2 - 2(1) +1)(1^2+1+1) - (1^3-1^2+1-1)(2(1) +1)(1^2+1+1)^2 . Vamos calcular f'(1) = (3 -2 +1)(1 +1 +1) - (1 -1 +1 -1)(2 +1)9 = (2)(3) - (0)(3)9 = 6 -09 = 69 = 23 :
Para y - y0 = m(x - x0) :
y - 0 = 23(x -1) implies y = 23x - 23
Portanto, está no gráfico de .
Agora, para encontrar a reta tangente, precisamos calcular a derivada de em , ou seja, .
Para :
Vamos usar a regra do quociente para derivar :
Agora, substituímos :
Calculando:
Agora, a equação da reta tangente na forma ponto-inclinação é:
Onde , , e . Substituindo:

Passo 5

4. Determine todos os zeros de f(x) = x^3-x^2+x-1x^2+x+1 = 0 .
Os zeros da função x^3-x^2+x-1 = 0 são os valores de x^3-x^2+x-1 = x^2(x -1) +1(x -1) = (x^2 +1)(x -1) para os quais (x^2 +1)(x -1) = 0 .
Vamos considerar os dois casos:
  1. x^2 +1 =0 implies x = pm i (não são reais) :
x -1 =0 implies x =1
Para uma fração ser zero, o numerador deve ser zero e o denominador diferente de zero. Então:
f(x) = e^x sin(x) =0
Vamos tentar fatorar:
sin(x) =0 implies x = npi, n in Z
Portanto,
x = -npi, n in N
As soluções são:
x =1 e x = -npi, n in N ãã
Então, para , temos como zero.
  1. :
Como nunca é zero para qualquer , o único jeito de o produto ser zero é .
Mas estamos considerando , então os zeros são:
Portanto, os zeros de são:

Passo 6

5. O gráfico de f(x) = x^3-x^2+x-1x^2+x+1 admite assíntota(s) horizontal(is)/vertical(is)? Justifique com detalhes sua resposta!
Vamos analisar se a função f(x) = 1 - 1x + 1x^2 - 1x^31x + 1x^2 + 1x^3 possui assíntotas horizontais ou verticais.
Assíntotas Horizontais:
Verificamos os limites de f(x) approx 10 to +infty quando f(x) = e^x sin(x) tende a limx to -infty f(x) = 0 e f(x) = x^3-x^2+x-1x^2+x+1 .
  1. Para f(x) = e^x sin(x) :
Para determinar o comportamento quando , dividimos numerador e denominador por :
Quando , os termos com tendem a 0, então:
Não há assíntota horizontal para .
  1. Para :
Como quando e é limitado entre -1 e 1, temos:
Portanto, existe uma assíntota horizontal em quando .
Assíntotas Verticais:
Verificamos se existem pontos onde o denominador da função racional é zero, o que poderia causar assíntotas verticais.
Para :
O denominador nunca é zero para qualquer , já que seu discriminante . Portanto, não há assíntotas verticais para .
Para :
Não há denominador, portanto, não há assíntotas verticais nesse caso.

Resposta

O gráfico de possui uma assíntota horizontal em para tendendo a menos infinito e não possui assíntotas verticais.

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