Considere a função
definida por
- [2.0 pontos] Onde
é contínua? Justifique com detalhes sua resposta!
- [2.0 pontos] Calcule, caso exista, o limite:
.
- [2.0 pontos] Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de
em
.
- [2.0 pontos] Determine todos os zeros de
.
- [2.0 pontos] O gráfico de
admite assíntota(s) horizontal(is)/vertical(is)? Justifique com detalhes sua resposta! .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado do exercício! Temos uma função
definida de forma diferente para valores de
positivos e negativos:
Nosso objetivo é responder cinco perguntas sobre essa função, que envolvem conceitos como continuidade, limites, reta tangente, zeros da função e assíntotas. Para resolver tudo isso, vamos precisar entender noções básicas de cálculo, como limites, derivadas e análise de funções.
Passo 2
1. Onde
é contínua? Justifique com detalhes sua resposta!
Primeiro, precisamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em
se três condições forem satisfeitas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Vamos analisar a continuidade da função
em todo o seu domínio.
Para
, a função é uma razão de polinômios:
O denominador
nunca é zero para
, pois
para todo
. Portanto,
é contínua para
.
Para
, a função é
. Ambas as funções
e
são contínuas para todo
, então
também é contínua para
.
Agora, o ponto crítico é
. Precisamos verificar se a função é contínua nesse ponto.
Calculamos:
Como
e
, os limites laterais não são iguais. Portanto, o limite
não existe, o que significa que
não é contínua em
.
Passo 3
2. Calcule, caso exista, o limite:
.
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Precisamos considerar os lados esquerdo e direito de 0 separadamente.
Primeiro, para
:
Então,
Calculando o limite quando
:
Agora, para
:
Então,
Calculando o limite quando
:
Sabemos que
, e
tende a 1 quando
. Portanto,
Como os limites laterais não são iguais (
e
), o limite geral
não existe.
Passo 4
3. Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de
em
.
Primeiro, precisamos verificar se
está no gráfico de
. Vamos calcular
:
Para
:
Portanto,
está no gráfico de
.
Agora, para encontrar a reta tangente, precisamos calcular a derivada de
em
, ou seja,
.
Para
:
Vamos usar a regra do quociente para derivar
:
Agora, substituímos
:
Calculando:
Agora, a equação da reta tangente na forma ponto-inclinação é:
Onde
,
, e
. Substituindo:
Passo 5
4. Determine todos os zeros de
.
Os zeros da função
são os valores de
para os quais
.
Vamos considerar os dois casos:
-
:
Para uma fração ser zero, o numerador deve ser zero e o denominador diferente de zero. Então:
Vamos tentar fatorar:
Portanto,
As soluções são:
Então, para
, temos
como zero.
-
:
Como
nunca é zero para qualquer
, o único jeito de o produto ser zero é
.
Mas estamos considerando
, então os zeros são:
Portanto, os zeros de
são:
Passo 6
5. O gráfico de
admite assíntota(s) horizontal(is)/vertical(is)? Justifique com detalhes sua resposta!
Vamos analisar se a função
possui assíntotas horizontais ou verticais.
Assíntotas Horizontais:
Verificamos os limites de
quando
tende a
e
.
- Para
:
Para determinar o comportamento quando
, dividimos numerador e denominador por
:
Quando
, os termos com
tendem a 0, então:
Não há assíntota horizontal para
.
- Para
:
Como
quando
e
é limitado entre -1 e 1, temos:
Portanto, existe uma assíntota horizontal em
quando
.
Assíntotas Verticais:
Verificamos se existem pontos onde o denominador da função racional é zero, o que poderia causar assíntotas verticais.
Para
:
O denominador
nunca é zero para qualquer
, já que seu discriminante
. Portanto, não há assíntotas verticais para
.
Para
:
Não há denominador, portanto, não há assíntotas verticais nesse caso.
Resposta
O gráfico de
possui uma assíntota horizontal em
para
tendendo a menos infinito e não possui assíntotas verticais.