Considere a função f definida por
f(x)=cl x^3-x^2+x-1x^2+x+1 & se x >= 0, e^x sin (x) & se x<0
  1. [2.0 pontos] O gráfico de f admite assíntota(s) horizontal(is)/vertical(is)? Justifique com detalhes sua resposta! .

Passo 1

A questão define a função f de forma piecewise e pede para encontrarmos se ela admite assíntotas horizontais ou verticais. O conteúdo é estudo de assíntotas via análise de zeros do denominador e limites em ±∞.

Passo 2

Para assíntotas verticais, analisamos a parte racional para x≥0: o denominador é x² + x + 1. Resolvendo x²+x+1=0, o discriminante Δ=1−4=−3<0, logo não há raízes reais. Na parte x<0, f(x)=eˣ·sin x é contínua. Concluímos que não há assíntotas verticais.

Passo 3

Para assíntotas horizontais em x→+∞ (ramos racional): calculamos limxto+inftyx^3 - x^2 + x -1x^2 + x +1 Dividindo numerador e denominador por x², obtemos comportamento ~x, logo o limite é infinito. Não há assíntota horizontal em +∞. Podemos até achar a oblíqua: faz a divisão polinomial
Realizando a divisão:
x^3 - x^2 + x -1x^2 + x +1 = x - 2 + 2x + 1x^2 + x + 1 Como limxto+infty(2x+1)/(x^2+x+1)=0, existe assíntota oblíqua y = x - 2 (mas não é horizontal).

Passo 4

Para assíntota horizontal em x→−∞ (ramo exponencial):
limxto-inftye^xsin x = 0, pois eˣ→0 e |sin x|≤1. Logo há assíntota horizontal y=0 quando x→−∞.

Resposta

Não há assíntotas verticais; há uma assíntota horizontal y=0 para x→−∞; não há assíntota horizontal para x→+∞ (apenas uma oblíqua y=x−2).

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