Considere a função
definida por
- [2.0 pontos] O gráfico de
admite assíntota(s) horizontal(is)/vertical(is)? Justifique com detalhes sua resposta! .
Passo 1
A questão define a função f de forma piecewise e pede para encontrarmos se ela admite assíntotas horizontais ou verticais. O conteúdo é estudo de assíntotas via análise de zeros do denominador e limites em ±∞.
Passo 2
Para assíntotas verticais, analisamos a parte racional para x≥0: o denominador é x² + x + 1. Resolvendo x²+x+1=0, o discriminante Δ=1−4=−3<0, logo não há raízes reais. Na parte x<0, f(x)=eˣ·sin x é contínua. Concluímos que não há assíntotas verticais.
Passo 3
Para assíntotas horizontais em x→+∞ (ramos racional): calculamos
Dividindo numerador e denominador por x², obtemos comportamento ~x, logo o limite é infinito. Não há assíntota horizontal em +∞. Podemos até achar a oblíqua: faz a divisão polinomial
Realizando a divisão:
Como
, existe assíntota oblíqua y = x - 2 (mas não é horizontal).
Realizando a divisão:
Passo 4
Para assíntota horizontal em x→−∞ (ramo exponencial):
Resposta
Não há assíntotas verticais; há uma assíntota horizontal y=0 para x→−∞; não há assíntota horizontal para x→+∞ (apenas uma oblíqua y=x−2).