Considere a função f: R^2 -> R, definida por f(x, y) = { (x^2 - y^2) / (x - y) , se x ≠ y ; x - y , se x = y }
c) (1, 0) f é diferenciável em (0,0) ? Justifique!

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função definida por:
O que a gente precisa descobrir é se essa função é diferenciável no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função quando . Observa que:
Então, nossa função fica:

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade da função no ponto . Para ser diferenciável, a função primeiro precisa ser contínua nesse ponto.
Calculando o limite quando :
E . Como o limite coincide com o valor da função, é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em .
A derivada parcial em relação a :
A derivada parcial em relação a :
Então, as derivadas parciais são e .

Passo 5

Para verificar se é diferenciável em , precisamos checar se o limite seguinte existe e é zero:
Substituindo os valores que já encontramos:

Passo 6

Como o limite acima é zero, concluímos que a função é diferenciável em .

Resposta

Sim, a função é diferenciável em .

Exercícios relacionados