Considere a função
, definida por
c)
f é diferenciável em
? Justifique!
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função
definida por:
O que a gente precisa descobrir é se essa função é diferenciável no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da função quando
. Observa que:
Então, nossa função fica:
Passo 3
Agora, vamos verificar a continuidade da função no ponto
. Para ser diferenciável, a função primeiro precisa ser contínua nesse ponto.
Calculando o limite quando
:
E
. Como o limite coincide com o valor da função,
é contínua em
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em
.
A derivada parcial em relação a
:
A derivada parcial em relação a
:
Então, as derivadas parciais são
e
.
Passo 5
Para verificar se
é diferenciável em
, precisamos checar se o limite seguinte existe e é zero:
Substituindo os valores que já encontramos:
Passo 6
Como o limite acima é zero, concluímos que a função
é diferenciável em
.
Resposta
Sim, a função
é diferenciável em
.