(3,0) Obtenha partial zpartial x e partial zpartial y, para z(x, y) dada implicitamente pela equação
e^x y z+z ln (x)=z^2+x ln (y)

Passo 1

Estamos enfrentando um exercício de cálculo multivariável onde temos uma função implícita e^x y z + z ln(x) = z^2 + x ln(y) definida pela equação:
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais e . Para isso, vamos utilizar o método de diferenciação implícita, que nos permite calcular derivadas mesmo quando a função não está isolada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar ddx ( e^x y z ) + ddx ( z ln(x) ) . Para isso, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a e^x y z cdot ( y z + x y partial zpartial x ) , tratando partial zpartial x ln(x) + zx como constante e ddx ( z^2 ) + ddx ( x ln(y) ) como uma função de 2 z partial zpartial x + ln(y) .
Diferenciando o lado esquerdo:
Usamos a regra da cadeia para a primeira parte:
Para a segunda parte, aplicamos a regra do produto:
Diferenciando o lado direito:
Aplicando a regra da cadeia e do produto:

Passo 3

Agora, juntamos as derivadas:
e^x y z ( y z + x y partial zpartial x ) + partial zpartial x ln(x) + zx = 2 z partial zpartial x + ln(y)
Queremos isolar ( e^x y z x y + ln(x) ) partial zpartial x - 2 z partial zpartial x = - e^x y z y z - zx + ln(y) . Vamos agrupar os termos que contêm partial zpartial x ( e^x y z x y + ln(x) - 2 z ) = - e^x y z y z - zx + ln(y) :
Fatorando :

Passo 4

Agora, isolamos partial zpartial x = - e^x y z y z - dfraczx + ln(y) e^x y z x y + ln(x) - 2 z :

Passo 5

Agora, vamos encontrar ddy ( e^x y z ) + ddy ( z ln(x) ) seguindo um processo similar. Diferenciamos ambos os lados da equação original em relação a e^x y z cdot ( x z + x y partial zpartial y ) , tratando partial zpartial y ln(x) como constante e ddy ( z^2 ) + ddy ( x ln(y) ) como uma função de 2 z partial zpartial y + xy .
Diferenciando o lado esquerdo:
Usando a regra da cadeia para a primeira parte:
Para a segunda parte, aplicamos a regra do produto:
Diferenciando o lado direito:
Aplicando a regra da cadeia e do produto:

Passo 6

Juntando as derivadas:
e^x y z ( x z + x y partial zpartial y ) + partial zpartial y ln(x) = 2 z partial zpartial y + xy
Queremos isolar ( e^x y z x y + ln(x) - 2 z ) partial zpartial y = - e^x y z x z + xy . Agrupamos os termos:

Passo 7

Isolando partial zpartial y = - e^x y z x z + dfracxy e^x y z x y + ln(x) - 2 z :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = - e^x y z y z - dfraczx + ln(y) e^x y z x y + ln(x) - 2 z
e
partial zpartial y = - e^x y z x z + dfracxy e^x y z x y + ln(x) - 2 z

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