(3,0) Obtenha
e
, para
dada implicitamente pela equação
Passo 1
Estamos enfrentando um exercício de cálculo multivariável onde temos uma função implícita
definida pela equação:
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais
e
. Para isso, vamos utilizar o método de diferenciação implícita, que nos permite calcular derivadas mesmo quando a função não está isolada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. Para isso, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a
, tratando
como constante e
como uma função de
.
Diferenciando o lado esquerdo:
Usamos a regra da cadeia para a primeira parte:
Para a segunda parte, aplicamos a regra do produto:
Diferenciando o lado direito:
Aplicando a regra da cadeia e do produto:
Passo 3
Agora, juntamos as derivadas:
Queremos isolar
. Vamos agrupar os termos que contêm
:
Fatorando
:
Passo 4
Agora, isolamos
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar
seguindo um processo similar. Diferenciamos ambos os lados da equação original em relação a
, tratando
como constante e
como uma função de
.
Diferenciando o lado esquerdo:
Usando a regra da cadeia para a primeira parte:
Para a segunda parte, aplicamos a regra do produto:
Diferenciando o lado direito:
Aplicando a regra da cadeia e do produto:
Passo 6
Juntando as derivadas:
Queremos isolar
. Agrupamos os termos:
Passo 7
Isolando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e