3, 0 A altura de um cilindro circular reto é h = 30 cm e o raio da base r = 15 cm. Calcule um valor aproximado para a variação Delta V no volume quando h aumenta 3 mm e r diminui 1 mm . (Use pi ≅ 3,14 )

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos um cilindro com altura cm e raio da base cm. Queremos calcular a variação aproximada no volume ( ) quando a altura aumenta 3 mm e o raio diminui 1 mm. Para isso, vamos usar os conceitos de cálculo de variações e derivadas parciais aplicados ao volume de um cilindro.

Passo 2

Vamos relembrar a fórmula do volume de um cilindro:
Onde:
  • é o volume,
  • é o raio da base,
  • é a altura,
  • é aproximadamente 3,14.

Passo 3

Para encontrar a variação no volume ( ) quando e mudam, usamos a aproximação linear (diferencial):
Onde:
  • é a derivada parcial de em relação a ,
  • é a derivada parcial de em relação a ,
  • é a variação em ,
  • é a variação em .

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:

Passo 5

Agora, substituímos os valores conhecidos:
  • cm,
  • cm,
  • mm = 0,3 cm,
  • mm = -0,1 cm (a diminuição de 1 mm é representada por um valor negativo).
Calculando as derivadas:

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da variação:

Resposta

A variação aproximada no volume é de . Isso significa que o volume diminui em aproximadamente 70,65 cm³ quando a altura aumenta 3 mm e o raio diminui 1 mm.

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