altura de um cilindro circular reto é
e o raio da base
. Calcule um valor aproximado para a variação
no volume quando h aumenta 3 mm e r diminui 1 mm . (Use
)
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos um cilindro com altura
cm e raio da base
cm. Queremos calcular a variação aproximada no volume (
) quando a altura aumenta 3 mm e o raio diminui 1 mm. Para isso, vamos usar os conceitos de cálculo de variações e derivadas parciais aplicados ao volume de um cilindro.
Passo 2
Vamos relembrar a fórmula do volume de um cilindro:
Onde:
-
é o volume, -
é o raio da base, -
é a altura, -
é aproximadamente 3,14.
Passo 3
Para encontrar a variação no volume (
) quando
e
mudam, usamos a aproximação linear (diferencial):
Onde:
-
é a derivada parcial de em relação a , -
é a derivada parcial de em relação a , -
é a variação em , -
é a variação em .
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 5
Agora, substituímos os valores conhecidos:
-
cm, -
cm, -
mm = 0,3 cm, -
mm = -0,1 cm (a diminuição de 1 mm é representada por um valor negativo).
Calculando as derivadas:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da variação:
Resposta
A variação aproximada no volume é de
. Isso significa que o volume diminui em aproximadamente 70,65 cm³ quando a altura aumenta 3 mm e o raio diminui 1 mm.