Determine os pontos críticos de e se correspondem a máximos, mínimos ou pontos de sela.
Determine os pontos de máximo ou mínimo de que estão sujetidos à restrição .
Passo 1
Estamos em otimização de uma função de duas variáveis sem restrição e, depois, com restrição na circunferência de raio . Para isso vamos precisar de gradiente, Hessiano e método de multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Calcular pontos críticos em . Começamos encontrando o gradiente de
Temos
Para pontos críticos igualamos a zero:
Logo o único ponto crítico é .
Passo 3
Para classificar usamos o Hessiano
Os autovalores são -8 e -2, ambos negativos. Assim H é definida negativa, o que implica que (0,0) é um ponto de máximo local (e, como fto-infty quando |(x,y)|toinfty, é também máximo global).
partialLpartial x = -8x - 2lambda x = 0, partialLpartial y = -2y - 2lambda y = 0, g(x,y)=0
Passo 5
Das duas primeiras equações:
(-8 - 2lambda)x = 0, (-2 - 2lambda)y = 0
Para satisfazer x^2+y^2=1, ou xneq0 ou yneq0.
Se xneq0, então -8-2lambda=0implies lambda=-4.
Se yneq0, então -2-2lambda=0implies lambda=-1.
Não há (x,y) não nulo que faça os dois simultaneamente, logo consideramos casos: 1) x=0. Daí y^2=1implies y=pm1. O multiplicador satisfaz lambda=-1. 2) y=0. Daí x^2=1implies x=pm1. O multiplicador satisfaz lambda=-4.
Passo 6
Avaliar f nos candidatos sobre x^2+y^2=1:
Em (0,1) e (0,-1):
f(0,pm1) = -4cdot0^2 - (pm1)^2 = -1
Em (1,0) e (-1,0):
f(pm1,0) = -4cdot(pm1)^2 - 0^2 = -4
Como na circunferência o valor máximo (menos negativo) é -1 e o mínimo é -4, concluímos que (0,pm1) são pontos de máximo restrito e (pm1,0) são pontos de mínimo restrito.
Resposta
Pontos críticos sem restrição: (0,0), que é máximo local (e global).
Pontos com restrição x^2+y^2=1:
Máximos em (0,1) e (0,-1) com f=-1.
Mínimos em (1,0) e (-1,0) com f=-4.