Considere a função f: R^2 R definida por
f(x, y)=-4 x^2-y^2
  • Determine os pontos críticos de f(x, y) e se correspondem a máximos, mínimos ou pontos de sela.
  • Determine os pontos de máximo ou mínimo de f(x, y) que estão sujetidos à restrição x^2+y^2=1.

Passo 1

Estamos em otimização de uma função de duas variáveis sem restrição e, depois, com restrição na circunferência de raio 1. Para isso vamos precisar de gradiente, Hessiano e método de multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Calcular pontos críticos em R^2. Começamos encontrando o gradiente de
f(x,y) = -4x^2 - y^2
Temos
partial fpartial x = -8x, partial fpartial y = -2y
Para pontos críticos igualamos a zero:
-8x = 0, -2y = 0 Longrightarrow x=0,;y=0
Logo o único ponto crítico é (0,0).

Passo 3

Para classificar (0,0) usamos o Hessiano
H = partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial x partial y partial^2 fpartial y partial x & partial^2 fpartial y^2 = -8 & 0 0 & -2
Os autovalores são -8 e -2, ambos negativos. Assim H é definida negativa, o que implica que (0,0) é um ponto de máximo local (e, como fto-infty quando |(x,y)|toinfty, é também máximo global).

Passo 4

Agora consideramos a restrição
x^2 + y^2 = 1
e usamos multiplicadores de Lagrange. Definimos
g(x,y) = x^2 + y^2 - 1 = 0,
e o Lagrangiano
L(x,y,lambda) = f(x,y) - lambda,g(x,y) = -4x^2 - y^2 - lambda,(x^2 + y^2 - 1)
As condições de estacionaridade são
partialLpartial x = -8x - 2lambda x = 0, partialLpartial y = -2y - 2lambda y = 0, g(x,y)=0

Passo 5

Das duas primeiras equações:
(-8 - 2lambda)x = 0, (-2 - 2lambda)y = 0
Para satisfazer x^2+y^2=1, ou xneq0 ou yneq0.
  • Se xneq0, então -8-2lambda=0implies lambda=-4.
  • Se yneq0, então -2-2lambda=0implies lambda=-1.
    Não há (x,y) não nulo que faça os dois simultaneamente, logo consideramos casos:
    1) x=0. Daí y^2=1implies y=pm1. O multiplicador satisfaz lambda=-1.
    2) y=0. Daí x^2=1implies x=pm1. O multiplicador satisfaz lambda=-4.

Passo 6

Avaliar f nos candidatos sobre x^2+y^2=1:
  • Em (0,1) e (0,-1):
f(0,pm1) = -4cdot0^2 - (pm1)^2 = -1
  • Em (1,0) e (-1,0):
f(pm1,0) = -4cdot(pm1)^2 - 0^2 = -4
Como na circunferência o valor máximo (menos negativo) é -1 e o mínimo é -4, concluímos que (0,pm1) são pontos de máximo restrito e (pm1,0) são pontos de mínimo restrito.

Resposta

Pontos críticos sem restrição:
(0,0), que é máximo local (e global).
Pontos com restrição x^2+y^2=1:
Máximos em (0,1) e (0,-1) com f=-1.
Mínimos em (1,0) e (-1,0) com f=-4.

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