Encontre o plano tangente a superfície
S=(x, y, z) in R^3, z=x^2+y^2
no ponto (-1,0,1).

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente à superfície
S=(x,y,z)inR^3mid z = x^2+y^2
no ponto (-1,0,1).
Aqui vemos que a superfície é o gráfico da função ,f(x,y)=x^2+y^2. Para achar o plano tangente, vamos usar derivadas parciais e a fórmula
z - f(x0,y0) = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de
,f(x,y)=x^2+y^2:
fx(x,y) = partialpartial x(x^2+y^2) = 2x,
fy(x,y) = partialpartial y(x^2+y^2) = 2y

Passo 3

Avaliamo-las no ponto (x0,y0)=(-1,0):
fx(-1,0) = 2cdot(-1) = -2,
fy(-1,0) = 2cdot0 = 0
E o valor da função ali é
f(-1,0)=(-1)^2+0^2=1,
compatível com a coordenada z0=1 do ponto.

Passo 4

Substituímos na fórmula do plano tangente:
z - f(x0,y0) = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0),
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z - 1 = (-2),(x + 1) + 0,(y - 0)

Passo 5

Simplificando temos
z - 1 = -2x - 2 Longrightarrow z = -2x - 1

Resposta

O plano tangente em (-1,0,1) é
boxed,z = -2x - 1,

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