Prove a desigualdade
para todo número natural
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que, para todo número natural
, a soma dos termos
é maior que
. Isso envolve conhecimentos sobre séries e desigualdades. Vamos precisar somar esses termos de forma inteligente para mostrar que realmente dá mais que
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quantos termos temos nessa soma. Olha só, a sequência começa em
e vai até
. Então, o número de termos é:
Ou seja, temos
termos na soma.
Passo 3
Agora, vamos encontrar um jeito de estimar essa soma de forma que fique fácil comparar com
. Uma boa estratégia é comparar cada termo da soma com um valor menor que ele. Sabemos que
é uma função decrescente, então para
, temos:
Isso porque o maior denominador é
, então o menor valor de cada termo é
.
Passo 4
Usando essa estimativa, podemos dizer que cada termo da soma é pelo menos
. Como temos
termos, a soma toda é pelo menos:
Então,
Passo 5
Agora, vamos comparar
com
. Fazendo uma conta rápida:
E temos que
. Isso mostra que nossa estimativa inicial foi muito conservadora. Vamos tentar uma estimativa melhor.
Passo 6
Vamos melhorar nossa estimativa observando que nem todos os termos são iguais a
. Na verdade, apenas metade dos termos são iguais ou menores que
. Os outros são maiores. Vamos dividir a soma em duas partes:
-
termos são maiores que (por exemplo). -
termos são pelo menos .
Então, a soma fica:
Passo 7
Agora, vamos comparar
com
:
E
, o que prova que:
Resposta
Portanto, para todo número natural
, a soma
é maior que
.