Prove a desigualdade
1n+1+1n+2+ldots+12 n>1324
para todo número natural n >= 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que, para todo número natural n >= 2, a soma dos termos 1n+1 + 1n+2 + ldots + 12n é maior que 1324. Isso envolve conhecimentos sobre séries e desigualdades. Vamos precisar somar esses termos de forma inteligente para mostrar que realmente dá mais que 1324.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantos termos temos nessa soma. Olha só, a sequência começa em n+1 e vai até 2n. Então, o número de termos é:
2n - (n + 1) + 1 = n
Ou seja, temos n termos na soma.

Passo 3

Agora, vamos encontrar um jeito de estimar essa soma de forma que fique fácil comparar com 1324. Uma boa estratégia é comparar cada termo da soma com um valor menor que ele. Sabemos que 1k é uma função decrescente, então para k >= n + 1, temos:
1k >= 12n
Isso porque o maior denominador é 2n, então o menor valor de cada termo é 12n.

Passo 4

Usando essa estimativa, podemos dizer que cada termo da soma é pelo menos 12n. Como temos n termos, a soma toda é pelo menos:
n times 12n = 12
Então,
1n+1 + 1n+2 + ldots + 12n >= 12

Passo 5

Agora, vamos comparar 12 com 1324. Fazendo uma conta rápida:
12 = 1224
E temos que 12/24 < 13/24. Isso mostra que nossa estimativa inicial foi muito conservadora. Vamos tentar uma estimativa melhor.

Passo 6

Vamos melhorar nossa estimativa observando que nem todos os termos são iguais a 12n. Na verdade, apenas metade dos termos são iguais ou menores que 12n. Os outros são maiores. Vamos dividir a soma em duas partes:
  • n2 termos são maiores que 23n (por exemplo).
  • n2 termos são pelo menos 12n.
Então, a soma fica:
n2 times 23n + n2 times 12n = 13 + 14 = 712

Passo 7

Agora, vamos comparar 712 com 1324:
712 = 1424
E 14/24 > 13/24, o que prova que:
1n+1 + 1n+2 + ldots + 12n > 1324

Resposta

Portanto, para todo número natural n >= 2, a soma 1n+1 + 1n+2 + ldots + 12n é maior que 1324.

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