Determine a equação do plano tangente ao gráfico da semi-esfera f(x, y)=raiz3-(x^2+y^2) que é paralela ao plano x+y+z=5.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente ao gráfico de
f(x,y)=raiz3-l(x^2+y^2r)
que seja paralelo ao plano x+y+z=5.
Conteúdo: derivadas parciais para obter o plano tangente e condição de paralelismo entre normais de planos.

Passo 2

Para um ponto (x,y) no domínio, as derivadas parciais de
f(x,y)=l(3-(x^2+y^2)r)^1/2
são
fx(x,y)=partial fpartial x =-xraiz3-(x^2+y^2), fy(x,y)=-yraiz3-(x^2+y^2)

Passo 3

O plano tangente em (x0,y0,z0) tem normal
nrm tang =l(-fx(x0,y0),,-fy(x0,y0),,1r)
Como queremos paralelismo com o plano x+y+z=5, cujo normal é (1,1,1), exigimos
(-fx,,-fy,,1)=lambda,(1,1,1)
para algum lambda.

Passo 4

Comparando componentes, vem
1=lambda, -fx(x0,y0)=1, -fy(x0,y0)=1
Logo fx(x0,y0)=-1 e fy(x0,y0)=-1. Substituindo
-x0raiz3-(x0^2+y0^2)=-1 Longrightarrow x0=raiz3-(x0^2+y0^2),
e de modo análogo y0=raiz3-(x0^2+y0^2). Daí x0=y0 e
x0=raiz3-2x0^2 Longrightarrow x0^2=3-2x0^2 Longrightarrow 3x0^2=3 Longrightarrow x0=pm1
Como aparece raiz positiva, fica x0=y0=1.

Passo 5

O valor de z0 é
z0=f(1,1)=raiz3-(1+1)=1
As derivadas nesse ponto são fx(1,1)=-1 e fy(1,1)=-1, então o plano tangente é
z-z0 =fx(1,1),(x-1)+fy(1,1),(y-1) Longrightarrow z-1=-1,(x-1)-1,(y-1)
Simplificando dá
z-1=-x+1-y+1 Longrightarrow x+y+z=5

Resposta

A equação do plano tangente é
x+y+z=5

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