Dada la función f cuya expresión es:
Estudia la continuidad de la función f
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você me enviou! A gente tem uma função $ f(x) $ que é definida por partes, ou seja, sua expressão muda dependendo do valor de $ x $. A parada é a seguinte:
f(x)
A gente precisa estudar a continuidade dessa função $ f $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites e continuidade de funções. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função naquele ponto. Ou seja, não tem “saltos” ou “buracos” no gráfico.
Então, para a nossa função $ f(x) $, precisamos verificar se ela é contínua em todas as partes onde ela é definida e especialmente nos pontos onde a definição muda, que são $ x = -2 $ e $ x = 3 $.
Passo 3
Vamos começar verificando a continuidade dentro de cada intervalo.
Para $ x < -2 $:
A expressão é x < -2 . Aqui, o numerador e o denominador são funções contínuas nos seus domínios, desde que o denominador não seja zero. Vamos verificar se o denominador é zero:
e^-3x-6 - 1x^2 + 2x
Para $ x < -2 $, $ x $ e $ x + 2 $ são ambos negativos, então o denominador não é zero. Portanto, essa parte da função é contínua para $ x < -2 $.
Para $ -2 \leq x \leq 3 $:
A expressão é $ a x + b $, que é uma função linear e, portanto, contínua em todo o seu domínio. Então, essa parte está tranquila.
Para $ x > 3 $:
A expressão é x^2 + 2x = x(x + 2) . Novamente, queremos garantir que o denominador não seja zero:
x < -2
Vamos ver os valores que anulam o denominador:
x
Para $ x > 3 $, $ x = -4 $ não está nesse intervalo, e $ x = 3 $ já não faz parte desse caso específico ($ x > 3 $). Então, o denominador não é zero aqui e essa parte também é contínua para $ x > 3 $.
Passo 4
Agora que vimos que cada parte está contínua no seu respectivo intervalo, vamos verificar a continuidade nos pontos onde a definição muda: $ x = -2 $ e $ x = 3 $.
No ponto $ x = -2 $:
Para a função ser contínua nesse ponto, o limite quando $ x $ se aproxima de x = -2 pela esquerda deve ser igual ao limite quando $ x $ se aproxima de x = 3 pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em $ x = -2 $.
Vamos calcular:
Limite à esquerda ($ x \to -2^- $):
x = -2
Substituindo $ x = -2 $:
x
Essa é uma indeterminação, então usamos a regra de L’Hôpital:
-2
Substituindo $ x = -2 $:
x
Limite à direita ($ x \to -2^+ $):
A expressão para $ -2 \leq x \leq 3 $ é $ a x + b $. Então:
-2
Valor da função em $ x = -2 $:
x = -2
Para continuidade em $ x = -2 $, temos que:
x to -2^-
Ou seja:
limx to -2^- e^-3x-6 - 1x^2 + 2x
No ponto $ x = 3 $:
Vamos repetir o processo.
Limite à esquerda ($ x \to 3^- $):
A expressão é $ a x + b $:
x = -2
Limite à direita ($ x \to 3^+ $):
A expressão é e^6 - 6 - 14 - 4 = 1 - 10 = 00 . Substituindo $ x = 3 $:
limx to -2^- ddx(e^-3x-6 - 1) g/ ddx(x^2 + 2x) = limx to -2^- -3e^-3x-62x + 2
Isso sugere que o limite tende ao infinito, a menos que $ L = 0 $. Para termos continuidade em $ x = 3 $, precisamos que esse limite seja um número finito, então:
x = -2
Com $ L = 0 $:
-3e^6 - 6-4 + 2 = -3 cdot 1-2 = -3-2 = 32
Valor da função em $ x = 3 $:
x to -2^+
Para continuidade em $ x = 3 $, temos que:
-2 <= x <= 3
Ou seja:
a x + b
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações para encontrar $ a $ e $ b $:
a
Vamos resolver esse sistema.
Subtraindo a segunda equação da primeira:
b
Encontrando $ b $ usando a segunda equação:
-2a + b = 32 3a + b = 0
Passo 6
Recapitulando, encontramos que:
L = 0, a = -310, b = 910
Resposta
Para que a função $ f(x) $ seja contínua, os valores das constantes devem ser: