- Considere a função definida por
(a) Determine um valor de
de tal forma que
seja contínua em
.
(b)
é derivável no valor de
encontrado na parte (a)?
(b)
Passo 1
Temos a função definida por:
Queremos encontrar um valor de
que torne
contínua em
e depois verificar se ela é derivável nesse ponto. O conteúdo usado será a definição de continuidade (igualdade de limites laterais e valor da função) e de derivabilidade (igualdade das derivadas laterais).
Passo 2
Para garantir continuidade em
, precisamos que
Como para
temos
, então
. E pelo trecho
,
também é o valor do limite à direita. Assim igualamos:
Passo 3
Resolvendo a equação
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Reorganizando:
Logo
é o único valor que garante continuidade.
Passo 4
Para verificar derivabilidade em
, calculamos as derivadas laterais. Para
,
o que dá
. Para
,
o que dá
. Como as derivadas laterais coincidem,
é derivável em
e
Resposta
a) b=2
b) Sim. A função é derivável em b e f’(2)= -\tfrac{1}{4}.
b) Sim. A função é derivável em b e f’(2)= -\tfrac{1}{4}.