1. Considere a função definida por
f(x)=ccc 1x & se & 0
(a) Determine um valor de b de tal forma que f seja contínua em b.
(b) f é derivável no valor de b encontrado na parte (a)?

Passo 1

Temos a função definida por:
f(x)= 1x,&0= b
Queremos encontrar um valor de b que torne f contínua em x=b e depois verificar se ela é derivável nesse ponto. O conteúdo usado será a definição de continuidade (igualdade de limites laterais e valor da função) e de derivabilidade (igualdade das derivadas laterais).

Passo 2

Para garantir continuidade em x=b, precisamos que
limxto b^-f(x)=f(b)=limxto b^+f(x)
Como para x temos f(x)=1/x, então limxto b^-f(x)=1/b. E pelo trecho x>= b, f(b)=1-tfrac14b também é o valor do limite à direita. Assim igualamos:
1b=1-b4

Passo 3

Resolvendo a equação
1b=1-b4
Multiplicando ambos os lados por b obtemos
1=b-b^24
Reorganizando:
b^2-4b+4=0Longrightarrow(b-2)^2=0
Logo b=2 é o único valor que garante continuidade.

Passo 4

Para verificar derivabilidade em b=2, calculamos as derivadas laterais. Para x<2,
f'(x)=ddxl(1xr)=-1x^2,
o que dá f'(2^-)= -tfrac14. Para x>2,
f'(x)=ddxl(1-x4r)=-14,
o que dá f'(2^+)= -tfrac14. Como as derivadas laterais coincidem, f é derivável em x=2 e
f'(2)=-tfrac14

Resposta

a) b=2
b) Sim. A função é derivável em b e f’(2)= -\tfrac{1}{4}.

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