1. Seja cll-1-x^2 & se & x <= 0 x^2+1 & se & x>0.
    (a) Verifique se f é derivável em x=0.
    (b) Determine a função f^prime e o seu domínio.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= -1 - x^2, & x<=0, x^2 + 1, & x>0
O conteúdo principal é continuidade e derivabilidade de função definida por partes em um ponto, e depois obter a derivada para todo o domínio.

Passo 2

Primeiro a gente testa continuidade em x=0. Para isso calculamos
limxto0^-f(x)=limxto0^-(-1 - x^2)=-1
e
limxto0^+f(x)=limxto0^+(x^2 + 1)=1
Como f(0)=−1 (pela definição em x≤0) e esses limites laterais não coincidem (−1≠1), a função não é contínua em 0.

Passo 3

Mesmo sem continuar o teste de derivadas laterais, já sabemos que se uma função não é contínua em um ponto, ela não pode ser derivável lá. Portanto f não é derivável em x=0.

Passo 4

Agora, para x≠0, cada ramo é uma função polinomial, então é derivável normalmente. Temos
para x<0:
f(x)=-1-x^2implies f'(x)=-2x,
para x>0:
f(x)=x^2+1implies f'(x)=2x
O domínio de f’ é, então, todos os x distintos de zero, isto é (−infty,0)cup(0,infty).

Resposta

(a) f não é derivável em x=0, pois falha a continuidade nesse ponto.
(b)
f'(x)= -2x,&x<0, 2x,&x>0,
com domínio (−infty,0)cup(0,infty).

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