- Seja
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(a) Verifique se
é derivável em
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(b) Determine a função
e o seu domínio.
(a) Verifique se
(b) Determine a função
Passo 1
O enunciado define a função por partes
O conteúdo principal é continuidade e derivabilidade de função definida por partes em um ponto, e depois obter a derivada para todo o domínio.
Passo 2
Primeiro a gente testa continuidade em x=0. Para isso calculamos
e
Como f(0)=−1 (pela definição em x≤0) e esses limites laterais não coincidem (−1≠1), a função não é contínua em 0.
Passo 3
Mesmo sem continuar o teste de derivadas laterais, já sabemos que se uma função não é contínua em um ponto, ela não pode ser derivável lá. Portanto f não é derivável em x=0.
Passo 4
Agora, para x≠0, cada ramo é uma função polinomial, então é derivável normalmente. Temos
para x<0:
para x>0:
O domínio de f’ é, então, todos os x distintos de zero, isto é
.
Resposta
(a) f não é derivável em x=0, pois falha a continuidade nesse ponto.
(b)
(b)
com domínio
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