Considere a função definida por f(x)=raizx+raizx+raizx+cdots. Determine f^prime(1). Dica: Note que f(x)=raizx+f(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre derivadas! A gente tem a função $ f(x) = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + \cdots}}} $ e precisa encontrar a sua derivada em $ x = 1 $, ou seja, $ f^{\prime}(1) $. Para isso, vamos usar conhecimentos de derivadas e um pouco de álgebra para simplificar a função. Vamos precisar entender como derivar funções definidas de forma implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos aproveitar a dica que foi dada: $ f(x) = \sqrt{x + f(x)} $. Isso significa que a função $ f(x) $ satisfaz a equação $ f(x)^2 = x + f(x) $, porque se a gente elevar ambos os lados ao quadrado, temos:
f(x) = raizx + f(x)

Passo 3

Agora, queremos encontrar a derivada de $ f(x) $, ou seja, $ f^{\prime}(x) $. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação $ f(x)^2 = x + f(x) $ em relação a $ x $.
Derivando o lado esquerdo:
f(x)
Derivando o lado direito:
f^prime(x)

Passo 4

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
2f(x) cdot f^prime(x) = 1 + f^prime(x)
Vamos resolver essa equação para $ f^{\prime}(x) $. Primeiro, vamos isolar os termos que contêm $ f^{\prime}(x) $:
f^prime(x)
Fatorando $ f^{\prime}(x) $:
f^prime(x)
Finalmente, isolando $ f^{\prime}(x) $:
2f(x) cdot f^prime(x) - f^prime(x) = 1

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor de $ f(1) $ para poder calcular $ f^{\prime}(1) $. Voltando à equação original $ f(x)^2 = x + f(x) $, substituímos $ x = 1 $:
f(1)
Isso é uma equação quadrática. Vamos resolver para $ f(1) $:
f^prime(1)
Usando a fórmula de Bhaskara:
f(x)^2 = x + f(x)
Como estamos lidando com uma sequência de raízes quadradas, $ f(1) $ deve ser positivo. Então, descartamos a solução negativa:
x = 1

Passo 6

Agora que temos $ f(1) $, podemos calcular $ f^{\prime}(1) $ usando a expressão que encontramos:
f(1)
Substituindo $ x = 1 $:
f^prime(1)

Resposta

Portanto, a derivada de $ f(x) $ em $ x = 1 $ é $ f^{\prime}(1) = \frac{1}{\sqrt{5}} $.

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