Considere uma função definida por f(x)=raizx+12 raizx, cujas derivada e segunda derivada são dadas, respectivamente, por:
dd x f(x)=1-x^2(1+x^2)^2 e d^2(d x)^2 f(x)=2 x^3-6 x(1+x^2)^3
Determine as assíntotas horizontais e verticais ao gráfico de f caso existam.

Passo 1

O enunciado dá a derivada
f'(x)=1-x^2(1+x^2)^2
que coincide com a de
f(x)=x1+x^2
logo vamos trabalhar com essa definição de f. O domínio de f é R menos os zeros do denominador, mas como 1+x^2>0 para todo xin R, o domínio é R.

Passo 2

Para achar assíntotas verticais, procuramos pontos onde f deixa de existir ou tende a ±∞. Aqui o único perigo seria resolver 1+x^2=0, mas não há solução real. Portanto não existem assíntotas verticais.

Passo 3

Para achar assíntotas horizontais, analisamos o comportamento de f quando xto+infty e xto-infty. Calculamos
limxtopminftyf(x)=limxtopminftyx1+x^2.
Como o termo de maior grau no denominador domina, esse limite vale 0 nos dois casos.

Passo 4

Concluímos que há uma única assíntota horizontal, dada pela reta y=0, e não há assíntotas verticais.

Resposta

Assíntota horizontal: y=0. Não há assíntotas verticais.

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