Considere a função definida por:
f(x, y)=ll x^3 yx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
a) f é contínua na origem? Justifique.
b) f é diferenciável na origem? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função
e pede (a) verificar se é contínua na origem e (b) se é diferenciável lá. Para isso vamos usar coordenadas polares para o limite e a definição de diferenciabilidade em .

Passo 2

Para a continuidade, queremos mostrar
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0
Em coordenadas polares escrevemos x=rcostheta, y=rsintheta. Então, para (x,y)neq(0,0),
f(x,y) =(rcostheta)^3(rsintheta)r^2 =r^2cos^3thetasintheta
Logo
l|f(x,y)r| <= r^2l|cos^3thetasinthetar| <= r^2,
e como rto0 quando (x,y)to(0,0), segue lim f(x,y)=0=f(0,0). Assim f é contínua na origem.

Passo 3

Para ver a diferenciabilidade, primeiro encontramos as derivadas parciais em (0,0).
fx(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0,
fy(0,0) =limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto00-0h=0
O candidato a aproximação linear é L(x,y)=0.

Passo 4

Usamos a definição: f é diferenciável na origem se
lim(x,y)to(0,0) f(x,y)-L(x,y)raizx^2+y^2 =0
Como L(x,y)=0, temos
|f(x,y)raizx^2+y^2| =r^2|cos^3thetasintheta|r <= r
em coordenadas polares. Como rto0, esse quociente tende a zero. Logo f é diferenciável na origem com diferencial nulo.

Resposta

a) f é contínua na origem.
b) f é diferenciável na origem e nabla f(0,0)=(0,0).

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