Exercício 3.1 Determine o valor do limite, se existir: mostre que :
lim x 1 raizx-1x-1=12

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto1raizx-1x-1
O conteúdo aqui é cálculo de limite que apresenta indeterminação do tipo tfrac00. Para resolver, vamos usar uma técnica clássica de álgebra: racionalização do numerador, além de entender que esse limite equivale à derivada de f(x)=raizx em x=1, mas focaremos na racionalização.

Passo 2

Verificamos a forma substituindo x=1:
raiz1-1=0 e 1-1=0, logo temos tfrac00, uma indeterminação. Precisamos então transformar a expressão para eliminar esse “ 0/0”.

Passo 3

Racionalizamos o numerador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de raizx-1, que é raizx+1:
raizx-1x-1 ;times; raizx+1raizx+1 = (raizx-1)(raizx+1)(x-1)(raizx+1)

Passo 4

No numerador usamos a identidade a^2 - b^2 = (a-b)(a+b), com a=raizx e b=1:
(raizx-1)(raizx+1) = x - 1
Assim a fração fica
x-1(x-1)(raizx+1) = 1raizx+1,
desde que xneq1, mas isso já remove a indeterminação.

Passo 5

Agora o limite é direto, basta substituir x=1 em tfrac1raizx+1:
limxto11raizx+1 = 1raiz1+1 = 12

Resposta

limxto1raizx-1x-1 = 12

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