Para a esfera x^2+y^2+z^2=9, encontrar a equação do plano tangente pasando por ( 2,1,2 ). Também encontrar a equação da reta normal e mostre que pasa por (0,0,0).
Rpta. Plano tangente 4(x-2)+2(y-1)+4(z-2)=0; reta normal x=2+4 t, y= 1+2 t, z=2+4 t ;(0,0,0) em t=-1 / 2.

Passo 1

O enunciado dá a esfera
x^2+y^2+z^2=9
e pede (a) a equação do plano tangente em (2,1,2) e (b) a equação da reta normal a esse plano, mostrando que ela passa em (0,0,0). O conteúdo principal aqui é usar o gradiente da função implícita
F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-9
para obter o vetor normal ao plano e, em seguida, escrever o plano e a reta normal.

Passo 2

Calculamos o gradiente de F:
nabla F=(2x,,2y,,2z)
No ponto (2,1,2) isso vale
nabla F(2,1,2)=(4,,2,,4),
que é exatamente o vetor normal ao plano tangente.

Passo 3

A equação vetorial do plano tangente é dado por nabla F(P)cdotl((x,y,z)-(2,1,2)r)=0. Em forma escalar fica
4(x-2)+2(y-1)+4(z-2)=0

Passo 4

A reta normal ao plano passa pelo ponto (2,1,2) e tem direção igual ao vetor normal (4,2,4). Em forma paramétrica:
x=2+4t, y=1+2t, z=2+4t

Passo 5

Para ver que essa reta passa por (0,0,0), basta achar t tal que
2+4t=0,1+2t=0,2+4t=0
Todas as três dão t=-tfrac12, logo de fato a reta contém o ponto (0,0,0).

Resposta

Plano tangente
4(x-2)+2(y-1)+4(z-2)=0
Reta normal
x=2+4t, y=1+2t, z=2+4t,
a qual passa por (0,0,0) para t=-tfrac12.

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