Para a esfera
, encontrar a equação do plano tangente pasando por (
). Também encontrar a equação da reta normal e mostre que pasa por
.
Rpta. Plano tangente
; reta normal
em
.
Rpta. Plano tangente
Passo 1
O enunciado dá a esfera
e pede (a) a equação do plano tangente em
e (b) a equação da reta normal a esse plano, mostrando que ela passa em
. O conteúdo principal aqui é usar o gradiente da função implícita
para obter o vetor normal ao plano e, em seguida, escrever o plano e a reta normal.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
:
No ponto
isso vale
que é exatamente o vetor normal ao plano tangente.
Passo 3
A equação vetorial do plano tangente é dado por
. Em forma escalar fica
Passo 4
A reta normal ao plano passa pelo ponto
e tem direção igual ao vetor normal
. Em forma paramétrica:
Passo 5
Para ver que essa reta passa por
, basta achar
tal que
Todas as três dão
, logo de fato a reta contém o ponto
.
Resposta
Plano tangente
Reta normal
a qual passa por
para
.