Considere a função
definida implicitamente pela equação
nas proximidades do ponto
.
Determine
.
Determine
Passo 1
O problema define a função por via implícita na equação
e queremos encontrar a derivada
. Para isso, vamos usar diferenciação implícita, aplicando regra do produto e da cadeia.
Passo 2
Definimos a função auxiliar
tal que
. Pela diferenciação implícita, devemos ter
Passo 3
Derivamos cada termo separadamente. Para o primeiro termo, usando produto e cadeia:
Para o segundo termo, também com produto e cadeia:
Passo 4
Somando as derivadas e igualando a zero, obtemos:
Passo 5
Agora avaliamos em
e
. Como
,
e
, a equação vira:
que simplifica para
e daí
Resposta
y’(0) = -\frac{1}{4}