Considere a função y(x)=y definida implicitamente pela equação
y^3 e^x^2+(y+x) cos (x^2)-2=0
nas proximidades do ponto (x, y)=(0,1).
Determine y^prime(0).

Passo 1

O problema define a função por via implícita na equação
y^3 e^x^2 + (y + x)cos(x^2) - 2 = 0
e queremos encontrar a derivada y'(0). Para isso, vamos usar diferenciação implícita, aplicando regra do produto e da cadeia.

Passo 2

Definimos a função auxiliar
F(x,y) = y^3 e^x^2 + (y + x)cos(x^2) - 2
tal que F(x,y)=0. Pela diferenciação implícita, devemos ter
dFdx = 0

Passo 3

Derivamos cada termo separadamente. Para o primeiro termo, usando produto e cadeia:
ddxl(y^3 e^x^2r) = 3y^2 y' e^x^2 + 2x,y^3 e^x^2
Para o segundo termo, também com produto e cadeia:
ddxl((y+x)cos(x^2)r) = (y' + 1)cos(x^2) - 2x,(y + x)sin(x^2)

Passo 4

Somando as derivadas e igualando a zero, obtemos:
3y^2 y' e^x^2 + 2x,y^3 e^x^2 + (y' + 1)cos(x^2) - 2x,(y + x)sin(x^2) = 0

Passo 5

Agora avaliamos em x=0 e y=1. Como e^0=1, cos0=1 e sin0=0, a equação vira:
3cdot1^2 y' + 0 + (y' + 1)cdot1 - 0 = 0
que simplifica para
4y' + 1 = 0
e daí
y' = -tfrac14

Resposta

y’(0) = -\frac{1}{4}

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