Obtenha uma descrição explícita de \operatorname{Nul}(A) listando os vetores que geram o espaço nulo.
(a) A=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 2 & 4 & 0 \\\\ 0 & 1 & 3 & -2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a descrição explícita de \operatorname{Nul}(A), ou seja, o conjunto de todas as soluções de
A x = 0,
onde
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 0\\\\ 0 & 1 & 3 & -2 \end{pmatrix}
é uma matriz 2\times4.
Conteúdo: teoria de espaços nulos (nulidade), usa eliminação de Gauss para resolver sistemas lineares homogêneos e depois extrair vetores geradores.

Passo 2

Escrevemos o sistema homogêneo Ax=0. Se x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T, então
\begin{cases} x_1 + 2x_2 + 4x_3 + 0\cdot x_4 = 0,\\\\ 0\cdot x_1 + x_2 + 3x_3 - 2x_4 = 0. \end{cases}

Passo 3

Identificamos as variáveis principais (pivotais) e as livres.
Da segunda equação vem
x_2 = -3x_3 + 2x_4.
Substituindo na primeira,
x_1 + 2(-3x_3 + 2x_4) +4x_3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_1 -6x_3 +4x_4 +4x_3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_1 = 2x_3 -4x_4.
Logo x_3 e x_4 são livres.

Passo 4

Introduzimos parâmetros livres: seja
x_3 = t,\quad x_4 = s,
com t,s\in\mathbb{R}. Então
x_1 = 2t - 4s, \quad x_2 = -3t + 2s, \quad x_3 = t, \quad x_4 = s.
Em forma de vetor:
x = \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2t -4s\\\ -3t +2s\t\s\end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}2\\\ -3\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-4\\\ 2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Concluímos que todo vetor em \operatorname{Nul}(A) é combinação linear de
v_1 = \begin{pmatrix}2\\\ -3\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad v_2 = \begin{pmatrix}-4\\\ 2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Portanto, \{v_1,v_2\} é uma base de \operatorname{Nul}(A).

Resposta

\displaystyle \operatorname{Nul}(A)=\operatorname{Span}\Bigl\{\,(2,\,-3,\,1,\,0)^T,\;(-4,\,2,\,0,\,1)^T\Bigr\}.

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