Seja g a função definida por g(x)=\ln (\sqrt{2-2 x}). Determine a inversa da função g(x) e o domínio e imagem desta.

Passo 1

O enunciado nos dá a função g definida por
g(x)=\ln\bigl(\sqrt{2-2x}\bigr).
O que o problema pede:
  • Determinar a inversa de g.
  • Determinar o domínio de g.
  • Determinar a imagem (contradomínio efetivo) de g.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • A função envolve uma raiz quadrada \sqrt{\cdot} e um logaritmo natural \ln(\cdot).
  • Essas operações impõem restrições no argumento: a raiz precisa ter argumento não negativo e o logaritmo precisa de argumento estritamente positivo.

Passo 2

Determinar o domínio de g: quais x são permitidos dentro de g(x).
Primeiro, a raiz quadrada exige que o argumento seja maior ou igual a zero:
2-2x \ge 0.
Essa desigualdade dá
2(1-x) \ge 0 \quad\Rightarrow\quad 1-x \ge 0 \quad\Rightarrow\quad x \le 1.
Segundo, o logaritmo natural exige que o seu argumento seja estritamente positivo:
\sqrt{2-2x} > 0.
A raiz quadrada é zero exatamente quando 2-2x=0, ou seja em x=1. Como o logaritmo não aceita zero, devemos excluir x=1. Assim a condição combinada é
2-2x>0 \quad\Rightarrow\quad x<1.
Portanto o domínio de g é
\text{Dom}(g)=(-\infty,1).

Passo 3

Uma forma mais simples de trabalhar com g é usar a identidade \ln(\sqrt{u})=\tfrac{1}{2}\ln(u) (válida para u>0). Aplicando aqui:
g(x)=\frac{1}{2}\ln(2-2x).
Isso facilita manipulações e também permite analisar monotonicidade.
Derivando para ver se g é injetora (importante para ter inversa):
g'(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2-2x}\cdot(-2)=-\frac{1}{2-2x}.
Para x<1 temos 2-2x>0, logo g'(x)<0. Ou seja, g é estritamente decrescente em seu domínio e, portanto, injetora — há inversa bem definida.

Passo 4

Encontrar a inversa: resolvemos y=g(x) para x em função de y.
Começamos escrevendo
y=\frac{1}{2}\ln(2-2x).
Multiplicando por 2:
2y=\ln(2-2x).
Agora aplicamos exponencial (função inversa do logaritmo) em ambos os lados:
e^{2y}=2-2x.
Isolando x:
2x=2-e^{2y}\quad\Rightarrow\quad x=1-\frac{1}{2}e^{2y}.
Isso expressa x em função de y. Troca-se o papel das variáveis para escrever a função inversa como função de x. Assim a inversa de g é
g^{-1}(x)=1-\frac{1}{2}e^{2x}.

Passo 5

Determinar a imagem (o conjunto de valores que g atinge):
Usamos limites nos extremos do domínio (-\infty,1).
Quando x\to 1^- temos 2-2x\to 0^+, logo \sqrt{2-2x}\to 0^+ e portanto
g(x)=\ln\bigl(\sqrt{2-2x}\bigr)\to -\infty.
Quando x\to -\infty temos 2-2x\to +\infty, logo \sqrt{2-2x}\to +\infty e
g(x)=\ln\bigl(\sqrt{2-2x}\bigr)\to +\infty.
Como g é contínua em (-\infty,1) e varia de +\infty a -\infty, sua imagem é todo o conjunto dos reais:
\text{Im}(g)=\mathbb{R}=(-\infty,\infty).
Isso também concorda com a expressão da inversa, que define g^{-1} em todo \mathbb{R} e tem imagem (-\infty,1).

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas bom para conferir): compor g com g^{-1}.
Calcule g\bigl(g^{-1}(x)\bigr).
g\bigl(g^{-1}(x)\bigr)=\ln\Bigl(\sqrt{\,2-2\bigl(1-\tfrac{1}{2}e^{2x}\bigr)\,}\Bigr)
O interior simplifica:
2-2\Bigl(1-\frac{1}{2}e^{2x}\Bigr)=2-2+\;e^{2x}=e^{2x}.
Então
g\bigl(g^{-1}(x)\bigr)=\ln\bigl(\sqrt{e^{2x}}\bigr)=\ln\bigl(e^{x}\bigr)=x,
o que confirma que a fórmula encontrada é realmente a inversa.

Resposta

g^{-1}(x)=1-\dfrac{1}{2}e^{2x}\n
\text{Dom}(g)=(-\infty,1)\n
\text{Im}(g)=\mathbb{R}

Exercícios relacionados