Seja
a função definida por
. Determine a inversa da função
e o domínio e imagem desta.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida por
O que o problema pede:
- Determinar a inversa de
. - Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (contradomínio efetivo) de
.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
- A função envolve uma raiz quadrada
e um logaritmo natural . - Essas operações impõem restrições no argumento: a raiz precisa ter argumento não negativo e o logaritmo precisa de argumento estritamente positivo.
Passo 2
Determinar o domínio de
: quais
são permitidos dentro de
.
Primeiro, a raiz quadrada exige que o argumento seja maior ou igual a zero:
Essa desigualdade dá
Segundo, o logaritmo natural exige que o seu argumento seja estritamente positivo:
A raiz quadrada é zero exatamente quando
, ou seja em
. Como o logaritmo não aceita zero, devemos excluir
. Assim a condição combinada é
Portanto o domínio de
é
Passo 3
Uma forma mais simples de trabalhar com
é usar a identidade
(válida para
). Aplicando aqui:
Isso facilita manipulações e também permite analisar monotonicidade.
Derivando para ver se
é injetora (importante para ter inversa):
Para
temos
, logo
. Ou seja,
é estritamente decrescente em seu domínio e, portanto, injetora — há inversa bem definida.
Passo 4
Encontrar a inversa: resolvemos
para
em função de
.
Começamos escrevendo
Multiplicando por
:
Agora aplicamos exponencial (função inversa do logaritmo) em ambos os lados:
Isolando
:
Isso expressa
em função de
. Troca-se o papel das variáveis para escrever a função inversa como função de
. Assim a inversa de
é
Passo 5
Determinar a imagem (o conjunto de valores que
atinge):
Usamos limites nos extremos do domínio
.
Quando
temos
, logo
e portanto
Quando
temos
, logo
e
Como
é contínua em
e varia de
a
, sua imagem é todo o conjunto dos reais:
Isso também concorda com a expressão da inversa, que define
em todo
e tem imagem
.
Passo 6
Verificação rápida (opcional, mas bom para conferir): compor
com
.
Calcule
.
O interior simplifica:
Então
o que confirma que a fórmula encontrada é realmente a inversa.