Sejam f e g as funções definidas por f(x)=\frac{3 x-3}{x} e g(x)=\frac{x}{x-3}-1.
(a) Verifique se a função h(x)=(g \circ f)(x) é par ou ímpar.
(b) Determine todos os valores reais de x que satisfazem a inequação
|1+g(x)| \geq \frac{f(x)}{3}
Passo 1
O enunciado dá as duas funções e pede duas coisas:
Dado f(x)=\dfrac{3x-3}{x} e g(x)=\dfrac{x}{x-3}-1, verificar se a função h(x)=(g\circ f)(x) é par ou ímpar.
Resolver a inequação
\left|1+g(x)\right| \geq \frac{f(x)}{3}.
Informações relevantes fornecidas:
f(x)=\dfrac{3x-3}{x}.
g(x)=\dfrac{x}{x-3}-1.
É necessário lembrar que f não está definida em x=0 e g não está definida em x=3 (essas restrições aparecerão na composição e na inequação).
Passo 2
Primeiro simplificar algebraicamente f e g, deixando a forma mais amigável para manipular.
Calcule f(x):
Determinar domínio de h. A composição exige que x esteja no domínio de f (ou seja x\neq 0) e que f(x) esteja no domínio de g (ou seja f(x)\neq 3). Verificar f(x)=3 não ocorre para x\neq0:
f(x)=3 \iff 3-\frac{3}{x}=3 \iff -\frac{3}{x}=0,
o que não tem solução para x\neq\infty. Assim a única restrição é x\neq 0. Portanto o domínio de h é \mathbb{R}\setminus\{0\} e, dentro desse domínio, h(x)=-x.
Passo 5
Verificar paridade de h. Lembrando as definições:
h é par se, para todo x no domínio, h(-x)=h(x).
h é ímpar se, para todo x no domínio, h(-x)=-h(x).
Como h(x)=-x para todo x\neq 0, calcule:
h(-x)=-(-x)=x, \qquad -h(x)=-(-x)=x.
Portanto h(-x)=-h(x) para todo x\neq0. Além disso o domínio \mathbb{R}\setminus\{0\} é simétrico (se x está no domínio, -x também está). Conclusão: h é ímpar.
Passo 6
Agora resolver a inequação
\left|1+g(x)\right| \geq \frac{f(x)}{3}.
Usar as formas simplificadas já obtidas: g(x)=\dfrac{3}{x-3} e \dfrac{f(x)}{3}=\dfrac{1}{3}\left(3-\dfrac{3}{x}\right)=1-\dfrac{1}{x}. Então a inequação fica
Observação didática: antes de manipular, é conveniente identificar onde o lado direito é não positivo, porque se for não positivo a desigualdade vale automaticamente (pois o lado esquerdo é um valor absoluto e, portanto, não negativo).
Zeros e indefinições: x=0 (não permitido) e x=1 (zero).
Analisar intervalos: para 0<x<1 tem x-1<0 e x>0 então \dfrac{x-1}{x}<0. Para x>1 é positivo. Para x<0, x-1<0 e x<0 então \dfrac{x-1}{x}>0.
Portanto \dfrac{x-1}{x}\le0 para 0<x\le1.
Conseqüência: para todo x em (0,1] (lembrando x\neq0), a inequação é verdadeira automaticamente, pois o lado esquerdo é \ge0 e o direito \le0.
Passo 9
Resta então resolver a inequação quando o lado direito é positivo, isto é para x<0 e para x>1 (com x\neq3). Nessas regiões podemos manipular sem trocar sinais por causa das positividade/negatividade adequadas; convém tratar separadamente os intervalos que mudam o sinal do denominador x-3.
Analisaremos as três regiões relevantes (lembrando x\neq0,3):
x<0,
1<x<3,
x>3.
Passo 10
Caso x<0.
Aqui x<0 e x-3<0, logo \dfrac{x}{x-3}>0. Assim \left|\dfrac{x}{x-3}\right|=\dfrac{x}{x-3} e \dfrac{x-1}{x}>0. Multiplicando ambos os lados por x(x-3) (produto positivo quando x<0) obtemos:
Mas estamos no caso x<0, então não existe x<0 que satisfaça x\ge \tfrac{3}{4}. Conclusão: nenhum x<0 satisfaz a inequação.
Passo 11
Caso 1<x<3.
Aqui x>0 e x-3<0 então \dfrac{x}{x-3}<0 e \left|\dfrac{x}{x-3}\right|=-\dfrac{x}{x-3}=\dfrac{x}{3-x}. O lado direito \dfrac{x-1}{x} é positivo. Multiplicar ambos os lados por x(3-x)>0 (pois x>1 e 3-x>0) dá:
portanto 2x^2-4x+3>0 para todo x. Logo a desigualdade é verdadeira para todo x em (1,3). Assim todos os x de (1,3) satisfazem a inequação.
Passo 12
Caso x>3.
Aqui x>0 e x-3>0 então \dfrac{x}{x-3}>0 e \left|\dfrac{x}{x-3}\right|=\dfrac{x}{x-3}. Multiplicando por x(x-3)>0 obtemos, como no caso x<0 mas com mudança de sinais nos termos:
x^2 \ge (x-1)(x-3)=x^2-4x+3.
Isso reduz a
0\ge -4x+3 \iff 4x\ge 3 \iff x\ge \frac{3}{4}.
Para x>3 essa desigualdade é automaticamente satisfeita (pois x>3>\tfrac{3}{4}). Portanto todo x>3 satisfaz a inequação.
Passo 13
Juntar todas as soluções obtidas, lembrando das restrições de domínio x\neq0 e x\neq3:
Nenhum x<0.
Todos x em (0,1] (resolvemos pelo caso RHS \le0).
Todos x em (1,3).
Todos x em (3,\infty).
Unindo (0,1]\cup(1,3) dá (0,3). Acrescentando (3,\infty) obtemos (0,\infty) excluindo o ponto 3 (que não pertence ao domínio). Portanto a solução da inequação é
x>0,\\ x\neq 3,
ou em notação de intervalo, (0,\infty)\setminus\{3\}.