Sejam f e g as funções definidas por f(x)=\frac{3 x-3}{x} e g(x)=\frac{x}{x-3}-1.
(a) Verifique se a função h(x)=(g \circ f)(x) é par ou ímpar.
(b) Determine todos os valores reais de x que satisfazem a inequação
|1+g(x)| \geq \frac{f(x)}{3}

Passo 1

O enunciado dá as duas funções e pede duas coisas:
  • Dado f(x)=\dfrac{3x-3}{x} e g(x)=\dfrac{x}{x-3}-1, verificar se a função h(x)=(g\circ f)(x) é par ou ímpar.
  • Resolver a inequação
\left|1+g(x)\right| \geq \frac{f(x)}{3}.
Informações relevantes fornecidas:
  • f(x)=\dfrac{3x-3}{x}.
  • g(x)=\dfrac{x}{x-3}-1.
  • É necessário lembrar que f não está definida em x=0 e g não está definida em x=3 (essas restrições aparecerão na composição e na inequação).

Passo 2

Primeiro simplificar algebraicamente f e g, deixando a forma mais amigável para manipular.
Calcule f(x):
f(x)=\frac{3x-3}{x}=\frac{3(x-1)}{x}=3-\frac{3}{x}.
Calcule g(x):
g(x)=\frac{x}{x-3}-1=\frac{x-(x-3)}{x-3}=\frac{3}{x-3}.
Comentário didático curto: escrever as funções em formas simples ajuda a compor e a manipular inequações sem ficar preso a frações complexas.

Passo 3

Calcular h(x)=(g\circ f)(x)=g(f(x)). Substituir f(x) em g:
g(f(x))=\frac{3}{f(x)-3}.
Usar a forma simplificada de f(x): f(x)=3-\dfrac{3}{x}. Então
f(x)-3 = \left(3-\frac{3}{x}\right)-3 = -\frac{3}{x}.
Logo
h(x)=g(f(x))=\frac{3}{-\frac{3}{x}}=3\cdot\left(-\frac{x}{3}\right)=-x.

Passo 4

Determinar domínio de h. A composição exige que x esteja no domínio de f (ou seja x\neq 0) e que f(x) esteja no domínio de g (ou seja f(x)\neq 3). Verificar f(x)=3 não ocorre para x\neq0:
f(x)=3 \iff 3-\frac{3}{x}=3 \iff -\frac{3}{x}=0,
o que não tem solução para x\neq\infty. Assim a única restrição é x\neq 0. Portanto o domínio de h é \mathbb{R}\setminus\{0\} e, dentro desse domínio, h(x)=-x.

Passo 5

Verificar paridade de h. Lembrando as definições:
  • h é par se, para todo x no domínio, h(-x)=h(x).
  • h é ímpar se, para todo x no domínio, h(-x)=-h(x).
    Como h(x)=-x para todo x\neq 0, calcule:
h(-x)=-(-x)=x, \qquad -h(x)=-(-x)=x.
Portanto h(-x)=-h(x) para todo x\neq0. Além disso o domínio \mathbb{R}\setminus\{0\} é simétrico (se x está no domínio, -x também está). Conclusão: h é ímpar.

Passo 6

Agora resolver a inequação
\left|1+g(x)\right| \geq \frac{f(x)}{3}.
Usar as formas simplificadas já obtidas: g(x)=\dfrac{3}{x-3} e \dfrac{f(x)}{3}=\dfrac{1}{3}\left(3-\dfrac{3}{x}\right)=1-\dfrac{1}{x}. Então a inequação fica
\left|1+\frac{3}{x-3}\right| \geq 1-\frac{1}{x}.

Passo 7

Simplificar ainda mais o membro esquerdo:
1+\frac{3}{x-3}=\frac{x-3}{x-3}+\frac{3}{x-3}=\frac{x}{x-3},
logo
\left|1+g(x)\right|=\left|\frac{x}{x-3}\right|.
A inequação é equivalente (lembrando as restrições x\neq 0 e x\neq 3) a
\left|\frac{x}{x-3}\right| \geq 1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}.
Observação didática: antes de manipular, é conveniente identificar onde o lado direito é não positivo, porque se for não positivo a desigualdade vale automaticamente (pois o lado esquerdo é um valor absoluto e, portanto, não negativo).

Passo 8

Determinar onde o lado direito é não positivo:
\frac{x-1}{x} \leq 0 \iff 1-\frac{1}{x}\le 0 \iff \frac{x-1}{x}\le0.
Resolver sinal de \dfrac{x-1}{x}:
  • Zeros e indefinições: x=0 (não permitido) e x=1 (zero).
  • Analisar intervalos: para 0<x<1 tem x-1<0 e x>0 então \dfrac{x-1}{x}<0. Para x>1 é positivo. Para x<0, x-1<0 e x<0 então \dfrac{x-1}{x}>0.
    Portanto \dfrac{x-1}{x}\le0 para 0<x\le1.
    Conseqüência: para todo x em (0,1] (lembrando x\neq0), a inequação é verdadeira automaticamente, pois o lado esquerdo é \ge0 e o direito \le0.

Passo 9

Resta então resolver a inequação quando o lado direito é positivo, isto é para x<0 e para x>1 (com x\neq3). Nessas regiões podemos manipular sem trocar sinais por causa das positividade/negatividade adequadas; convém tratar separadamente os intervalos que mudam o sinal do denominador x-3.
Analisaremos as três regiões relevantes (lembrando x\neq0,3):
  • x<0,
  • 1<x<3,
  • x>3.

Passo 10

Caso x<0.
Aqui x<0 e x-3<0, logo \dfrac{x}{x-3}>0. Assim \left|\dfrac{x}{x-3}\right|=\dfrac{x}{x-3} e \dfrac{x-1}{x}>0. Multiplicando ambos os lados por x(x-3) (produto positivo quando x<0) obtemos:
x^2 \ge (x-1)(x-3).
Calcular o lado direito:
(x-1)(x-3)=x^2-4x+3.
A desigualdade vira
x^2 \ge x^2-4x+3 \iff 0\ge -4x+3 \iff 4x\ge 3 \iff x\ge \frac{3}{4}.
Mas estamos no caso x<0, então não existe x<0 que satisfaça x\ge \tfrac{3}{4}. Conclusão: nenhum x<0 satisfaz a inequação.

Passo 11

Caso 1<x<3.
Aqui x>0 e x-3<0 então \dfrac{x}{x-3}<0 e \left|\dfrac{x}{x-3}\right|=-\dfrac{x}{x-3}=\dfrac{x}{3-x}. O lado direito \dfrac{x-1}{x} é positivo. Multiplicar ambos os lados por x(3-x)>0 (pois x>1 e 3-x>0) dá:
x^2 \ge (x-1)(3-x).
Calcule o produto:
(x-1)(3-x)= -x^2+4x-3.
Assim a desigualdade é
x^2 \ge -x^2+4x-3 \iff 2x^2-4x+3 \ge 0.
Estudar o polinômio 2x^2-4x+3. O discriminante é
\Delta = (-4)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 16-24 = -8 < 0,
portanto 2x^2-4x+3>0 para todo x. Logo a desigualdade é verdadeira para todo x em (1,3). Assim todos os x de (1,3) satisfazem a inequação.

Passo 12

Caso x>3.
Aqui x>0 e x-3>0 então \dfrac{x}{x-3}>0 e \left|\dfrac{x}{x-3}\right|=\dfrac{x}{x-3}. Multiplicando por x(x-3)>0 obtemos, como no caso x<0 mas com mudança de sinais nos termos:
x^2 \ge (x-1)(x-3)=x^2-4x+3.
Isso reduz a
0\ge -4x+3 \iff 4x\ge 3 \iff x\ge \frac{3}{4}.
Para x>3 essa desigualdade é automaticamente satisfeita (pois x>3>\tfrac{3}{4}). Portanto todo x>3 satisfaz a inequação.

Passo 13

Juntar todas as soluções obtidas, lembrando das restrições de domínio x\neq0 e x\neq3:
  • Nenhum x<0.
  • Todos x em (0,1] (resolvemos pelo caso RHS \le0).
  • Todos x em (1,3).
  • Todos x em (3,\infty).
Unindo (0,1]\cup(1,3) (0,3). Acrescentando (3,\infty) obtemos (0,\infty) excluindo o ponto 3 (que não pertence ao domínio). Portanto a solução da inequação é
x>0,\\ x\neq 3,
ou em notação de intervalo, (0,\infty)\setminus\{3\}.

Resposta

a) h é ímpar.
b) x\in(0,\infty)\setminus\{3\}.

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