Considere a função definida por f(x)=\left\{\begin{array}{c}\ln (x+1), \text { se } x \geq 0 \\\\ -e^{x}, \text { se } x<0\end{array} \quad\right..
(a) Construa o gráfico de f(x).
(b) f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é bijetora? Justifique.
(c) Determine f^{-1}(x), restringindo domínio e contradomínio se necessário, e construa o seu gráfico.
As perguntas são:
(a) Construir o gráfico de f(x).
(b) Verificar se f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é bijetora e justificar.
(c) Determinar f^{-1}(x), fazendo as restrições de domínio/contradomínio necessárias, e construir o gráfico de f^{-1}.
Informações úteis dadas pela definição (extraídas do enunciado):
Para x\ge 0 a expressão é \ln(x+1) com domínio [0,\infty).
Para x<0 a expressão é -e^{x} com domínio (-\infty,0).]
Passo 2
Entender cada ramo separadamente (isso ajuda a esboçar o gráfico).
Ramo direito (x\ge 0): a função é \ln(x+1).
Valor em x=0: \ln(0+1)=\ln 1=0. Logo o ponto (0,0) pertence ao gráfico.
Comportamento quando x\to\infty: \ln(x+1)\to\infty (cresce sem limite, mas lentamente).
Derivada: \dfrac{d}{dx}\ln(x+1)=\dfrac{1}{x+1}>0 para x\ge0. Logo esse ramo é estritamente crescente.
Imagem desse ramo: como \ln(1)=0 e \ln(x+1)\to\infty, o conjunto de valores atingidos é [0,\infty).
Ramo esquerdo (x<0): a função é -e^{x}.
Comportamento quando x\to -\infty: e^{x}\to0^+, então -e^{x}\to0^{-}. Ou seja, a curva se aproxima de y=0 por baixo quando x\to -\infty.
Limite à direita em x=0 deste ramo: \lim_{x\to 0^-} -e^{x} = -e^{0}=-1. O ponto (0,-1) NÃO pertence ao gráfico porque x=0 não está no domínio deste ramo (é apenas o limite).
Derivada: \dfrac{d}{dx}(-e^{x}) = -e^{x}<0 para todo x<0. Logo esse ramo é estritamente decrescente quando x aumenta (isto é, indo da esquerda para a direita).
Imagem desse ramo: para x<0 tem e^{x}\in(0,1), então -e^{x}\in(-1,0). Portanto esse ramo atinge exatamente (-1,0) (intervalo aberto).
Passo 3
Resumo das imagens dos ramos e consequências para o gráfico.
Imagem do ramo esquerdo: (-1,0).
Imagem do ramo direito: [0,\infty).
União das imagens: (-1,\infty). Observações importantes:
O valor 0 é atingido apenas por x=0 (ramo direito).
O valor -1 não é atingido por nenhum x (é apenas um limite como x\to0^-).
Portanto o gráfico consiste de duas curvas disjuntas: uma para x<0 que fica estritamente entre -1 e 0, e outra para x\ge0 que parte de (0,0) e sobe indefinidamente.
Esses elementos são suficientes para esboçar o gráfico:
Para x<0: curve que vem de y\approx0^- quando x\to -\infty, desce (no sentido de valores) até aproximar -1 quando x\to0^- (ponto (0,-1) não incluido).
Para x\ge0: curva logarítmica começando em (0,0) e subindo lentamente para +\infty.
Passo 4
Decidir injetividade (uma-por-uma).
Cada ramo é estritamente monotônico: ramo esquerdo é estritamente decrescente em (-\infty,0) e ramo direito é estritamente crescente em [0,\infty). Uma função estritamente monotônica em um intervalo é injetora nesse intervalo.
As imagens dos ramos são disjuntas: ramo esquerdo dá (-1,0) e ramo direito dá [0,\infty); a interseção é apenas o possível ponto 0, mas 0 não pertence à imagem do ramo esquerdo. Logo não há valor y que seja atingido por dois x diferentes em ramos distintos.
Conclusão: f é injetora em todo \mathbb{R}.
Passo 5
Decidir sobre sobrejetividade (ser sobrejetora para \mathbb{R}).
Mostramos que a imagem de f é (-1,\infty).
Como (-1,\infty)\neq\mathbb{R} (por exemplo valores \le -1 não são atingidos), f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} NÃO é sobrejetora.
Portanto f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} não é bijetora (injetora, mas não sobrejetora).
Passo 6
Determinar f^{-1}\) com as restrições adequadas.
- Para definir inversa é preciso que a função seja bijetora entre domínio e contradomínio escolhidos. A escolha natural é tomar o contradomínio igual à imagem de \(f\). Assim considerar
\[f:\mathbb{R}\to(-1,\infty).
Nessa situação f é bijetora e possui inversa f^{-1}:(-1,\infty)\to\mathbb{R}.
Agora calcular f^{-1} resolvendo cada ramo por x em função de y (vai ficar peça por peça, porque f é definida por partes).
Se y\ge 0 (caso imagem do ramo direito), y=\ln(x+1) com x\ge0. Resolve-se:
com domínio (-1,\infty)\] e imagem (contradomínio) \(\mathbb{R}.]
Passo 7
Comentários sobre o gráfico de f^{-1} (forma e pontos importantes).
O gráfico de f^{-1} é a reflexão do gráfico de f em relação à reta y=x.
Para y\in(-1,0) (eixo horizontal dessa inversa), a curva é x=\ln(-y); ao plotar como função y\mapsto f^{-1}(y) essa parte corresponde a saídas negativas que vão a -\infty quando y\to 0^- e alcançam valores próximos de 0^- quando y\to -1^+.
Para y\ge 0 a curva é x=e^{y}-1, que parte de 0 em y=0 e cresce rapidamente para +\infty.
Pontos de correspondência notáveis: f(0)=0 e portanto f^{-1}(0)=0; f(1)=\ln 2 então f^{-1}(\ln2)=1, etc.
Não há ponto com y=-1 na inversa porque y=-1 não pertence ao domínio da inversa; o limite quando y\to -1^+ dá f^{-1}(y)\to 0^-.
Resposta
(a) Gráfico: para x<0\) o ramo é \(y=-e^{x}\), que para \(x\to-\infty\) aproxima \(y=0^{-}\) e para \(x\to0^{-}\) tende a \(-1\) (ponto \((0,-1)\) não incluído); para \(x\ge0\) o ramo é \(y=\ln(x+1)\), que passa por \((0,0)\) e cresce para \(+\infty\).
(b) \(f\) não é bijetora como função de \(\mathbb{R}\) em \(\mathbb{R}\): é injetora (cada ramo é estritamente monotônico e as imagens dos ramos são disjuntas) mas não é sobrejetora porque sua imagem é \((-1,\infty)\neq\mathbb{R}\).
\text{(c)} Tomando o contradomínio como \((-1,\infty)\) para ter bijeção, a inversa é
\[f^{-1}(y)=\begin{cases} \ln(-y), & \text{se } -1<y<0,\\[4pt] e^{y}-1, & \text{se } y\ge 0, \end{cases}
com domínio (-1,\infty)\]. O gráfico de \(f^{-1} é a reflexão do gráfico de f em relação à reta y=x.]