(0,5 pts.) Ache as equações simétricas da reta tangente à curva de intersecção das superfícies
e
no ponto
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado).
- São dadas duas superfícies cujas equações são
e
- O ponto onde queremos a reta tangente é
.
O enunciado pede: encontrar as equações simétricas da reta tangente à curva de intersecção dessas duas superfícies no ponto dado.
Passo 2
Entender a ideia geométrica e a estratégia (explicação didática).
- Cada superfície tem um vetor normal em cada ponto dado pelas derivadas parciais: esse vetor é o gradiente da função que define a superfície. Vou explicitar o que é isso.
- Se uma superfície é dada como
, o gradiente é um vetor perpendicular à superfície em cada ponto (isso vem das derivadas parciais: é a taxa de variação de em , etc.). - A curva de intersecção de duas superfícies está contida em ambas; portanto sua direção tangente em um ponto é perpendicular a ambos os vetores normais das superfícies naquele ponto. Logo, a direção tangente é dada pelo produto vetorial (cross product) dos dois gradientes.
- Em palavras mais simples: calculo os dois vetores normais no ponto, faço o produto vetorial para obter um vetor diretor da reta tangente, e então escrevo as equações da reta que passa por
com essa direção.
Passo 3
Calcular explicitamente os gradientes das funções que definem as superfícies. Primeiro escrevo as funções em forma
e
:
Agora calculo as derivadas parciais (cada derivada parcial é a derivada mantendo as outras variáveis fixas):
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Avaliar os gradientes no ponto
. Substituo
,
,
nas expressões anteriores:
- Para
:
Portanto
- Para
:
Portanto
Passo 5
Calcular o vetor diretor da reta tangente como o produto vetorial
. Vou lembrar rapidamente como é o produto vetorial: para
e
,
Aplicando com
e
:
Logo o vetor diretor é
Comentário prático: qualquer múltiplo desse vetor também é válido como direção; às vezes eu simplifico trocando o sinal ou fator comum, mas aqui não há um fator inteiro comum além de
, então uso
.
Passo 6
Construir as equações da reta que passa por
com parâmetro
): igualando
nas três expressões,
Para evitar o denominador negativo na última fração, uma forma equivalente e limpa é