(0,5 pts.) Ache as equações simétricas da reta tangente à curva de intersecção das superfícies x^{2}-3 x y+y^{2}= z e 2 x^{2}+y^{2}-3 z+27=0 no ponto (1,-2,11).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado).
  • São dadas duas superfícies cujas equações são x^{2}-3xy+y^{2}=z
e
2x^{2}+y^{2}-3z+27=0.
  • O ponto onde queremos a reta tangente é (1,-2,11).
    O enunciado pede: encontrar as equações simétricas da reta tangente à curva de intersecção dessas duas superfícies no ponto dado.

Passo 2

Entender a ideia geométrica e a estratégia (explicação didática).
  • Cada superfície tem um vetor normal em cada ponto dado pelas derivadas parciais: esse vetor é o gradiente da função que define a superfície. Vou explicitar o que é isso.
  • Se uma superfície é dada como F(x,y,z)=0, o gradiente \nabla F=(F_x,F_y,F_z) é um vetor perpendicular à superfície em cada ponto (isso vem das derivadas parciais: F_x é a taxa de variação de F em x, etc.).
  • A curva de intersecção de duas superfícies está contida em ambas; portanto sua direção tangente em um ponto é perpendicular a ambos os vetores normais das superfícies naquele ponto. Logo, a direção tangente é dada pelo produto vetorial (cross product) dos dois gradientes.
  • Em palavras mais simples: calculo os dois vetores normais no ponto, faço o produto vetorial para obter um vetor diretor da reta tangente, e então escrevo as equações da reta que passa por (1,-2,11) com essa direção.

Passo 3

Calcular explicitamente os gradientes das funções que definem as superfícies. Primeiro escrevo as funções em forma F(x,y,z)=0 e G(x,y,z)=0:
F(x,y,z)=x^{2}-3xy+y^{2}-z
G(x,y,z)=2x^{2}+y^{2}-3z+27
Agora calculo as derivadas parciais (cada derivada parcial é a derivada mantendo as outras variáveis fixas):
  • Para F:
F_x=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}-3xy+y^{2}-z)=2x-3y,
F_y=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-3xy+y^{2}-z)=-3x+2y,
F_z=\frac{\partial}{\partial z}(x^{2}-3xy+y^{2}-z)=-1.
  • Para G:
G_x=\frac{\partial}{\partial x}(2x^{2}+y^{2}-3z+27)=4x,
G_y=\frac{\partial}{\partial y}(2x^{2}+y^{2}-3z+27)=2y,
G_z=\frac{\partial}{\partial z}(2x^{2}+y^{2}-3z+27)=-3.

Passo 4

Avaliar os gradientes no ponto (1,-2,11). Substituo x=1, y=-2, z=11 nas expressões anteriores:
  • Para F:
F_x(1,-2,11)=2\cdot1-3\cdot(-2)=2+6=8,
F_y(1,-2,11)=-3\cdot1+2\cdot(-2)=-3-4=-7,
F_z(1,-2,11)=-1.
Portanto
\nabla F(1,-2,11)=(8,-7,-1).
  • Para G:
G_x(1,-2,11)=4\cdot1=4,
G_y(1,-2,11)=2\cdot(-2)=-4,
G_z(1,-2,11)=-3.
Portanto
\nabla G(1,-2,11)=(4,-4,-3).

Passo 5

Calcular o vetor diretor da reta tangente como o produto vetorial \nabla F\times\nabla G. Vou lembrar rapidamente como é o produto vetorial: para a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3),
a\times b=\big(a_2 b_3-a_3 b_2,\; a_3 b_1-a_1 b_3,\; a_1 b_2-a_2 b_1\big).
Aplicando com a=\nabla F(1,-2,11)=(8,-7,-1) e b=\nabla G(1,-2,11)=(4,-4,-3):
\begin{aligned} v_1 &= (-7)(-3)-(-1)(-4)=21-4=17,\\\ v_2 &= (-1)(4)-8(-3)=-4-(-24)=20,\\\ v_3 &= 8(-4)-(-7)(4)=-32-(-28)=-4. \end{aligned}
Logo o vetor diretor é
v=\nabla F\times\nabla G=(17,20,-4).
Comentário prático: qualquer múltiplo desse vetor também é válido como direção; às vezes eu simplifico trocando o sinal ou fator comum, mas aqui não há um fator inteiro comum além de 1, então uso (17,20,-4).

Passo 6

Construir as equações da reta que passa por (1,-2,11)\) com vetor diretor \(v=(17,20,-4)\). Primeiro a forma paramétrica (para fixar a ideia) é \[\begin{cases} x=1+17t,\\[4pt] y=-2+20t,\\[4pt] z=11-4t, \end{cases}
com parâmetro t\]. A partir daqui eu escrevo as equações simétricas (que eliminam \(t): igualando t nas três expressões,
\frac{x-1}{17}=\frac{y+2}{20}=\frac{z-11}{-4}.
Para evitar o denominador negativo na última fração, uma forma equivalente e limpa é
\frac{x-1}{17}=\frac{y+2}{20}=\frac{11-z}{4}.]

Resposta

\frac{x-1}{17}=\frac{y+2}{20}=\frac{11-z}{4}

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