Determine o domínio das funções:
(ii) Para
.
(ii) Para
Passo 1
O enunciado que foi passado é curto e diz apenas: determinar o domínio das funções, parte (ii) "Para
".
Informações que temos do enunciado:
Informações que temos do enunciado:
- Há um parâmetro
com . - O que se pede é “determinar o domínio das funções” (presumidamente de alguma função dependente de
).
O que falta (informação necessária):
- A expressão explícita da(s) função(ões). Sem a fórmula da função não é possível obter um domínio único e correto.
Passo 2
Por que não dá para responder diretamente: o domínio depende da expressão da função. Diferentes operações na função (divisão, raiz, logaritmo, potência com expoente real, etc.) impõem restrições distintas sobre
. Sem saber que operações aparecem na função, não há como determinar quais restrições valem, logo não há como dar um domínio preciso.
Passo 3
Mesmo sem a função, é útil aprender um procedimento geral e as regras que normalmente surgem ao determinar domínio. Aqui vai um guia prático — siga estes passos quando a função for conhecida.
Regra geral (passos a seguir na prova)
- Identificar todas as expressões que impõem restrição (denominadores, radiciação de índice par, logaritmos, expoentes reais, frações com raiz no denominador, etc.).
- Para cada uma, escrever a condição que garante validade (por exemplo: denom ≠ 0, argumento do log > 0, radicando ≥ 0 quando o índice é par, etc.).
- Resolver as desigualdades/equações que surgirem.
- Interseccionar todas as condições (tomar apenas os
que satisfazem todas). - Remover pontos isolados que causem problemas (ex.: zeros do denominador).
Passo 4
As restrições mais comuns e como tratá‑las (com explicações didáticas):
-
Divisão: se aparece
, então é necessário . Exemplo de resolução: resolver e excluir essas raízes. -
Radiciação com índice par: se aparece
com par (ex.: ), exige-se . Para ímpar não há restrição de sinal (raízes ímpares aceitam negativo). -
Logaritmo: se aparece
(ou ), exige-se . -
Potência com expoente real
: expressão pede cuidado: - Se
é um número real não racional simples, a forma real mais segura é exigir (para evitar valores complexos quando negativo e irracional). - Se
em termos de fração reduzida: - Se
é par, então precisa (ex.: ). - Se
é ímpar, então aceita negativo; portanto valores negativos podem ser permitidos (ex.: definido para todo ).
- Se
- Como
o expoente é fracionário positivo; normalmente isso tende a restringir a ou , dependendo se o denominador da fração é par/ímpar ou se é irracional.
- Se
Passo 5
Modelos resolvidos (para aprendizado): cada modelo mostra exatamente como pensar numa prova.
Modelo A — raiz:
.
Condição: o radicando deve ser não negativo.
Condição: o radicando deve ser não negativo.
Resolve-se:
Como
, isso significa
(um pequeno número positivo). Então o domínio é
.
Modelo B — divisão:
.
Condição: denominador não nulo.
Condição: denominador não nulo.
Domínio:
.
Modelo C — logaritmo:
.
Condição: argumento positivo.
Condição: argumento positivo.
Domínio:
.
Modelo D — potência fracionária:
com
.
- Se
for irracional (ou fração com denominador par), normalmente exige para que a potência seja real. - Se
em forma reduzida com ímpar, então a expressão é definida para todo real (porque existe para negativos quando é ímpar).
Exemplo concreto: se, domínio . Se (denominador ímpar), a função está definida para todo .
Passo 6
Checklist rápido para usar na prova (mentalmente):
- Veja se há divisão → excluir zeros do denominador.
- Veja se há raiz de índice par → exigir radicando
. - Veja se há log → exigir argumento
. - Veja potências com expoente real → traduzir para condição em função da natureza do expoente (racional com denominador par/ímpar, ou irracional).
- Resolva as desigualdades resultantes com cuidado (métodos: isolar, fatorar, analisar sinais).
- Interseccione todas as condições e escreva o domínio como intervalo(s).
Passo 7
Resumo final: sem a expressão da(s) função(ões) não há como dar um domínio único e correto. O que eu acabei de fazer foi mostrar o procedimento e exemplos que você pode aplicar imediatamente quando tiver a função completa em mãos. Se a função contiver radicais, logs, divisões ou potências, siga o checklist e os modelos acima.
Resposta
Não é possível determinar o domínio porque o enunciado não fornece a expressão da(s) função(ões).