Determine o domínio das funções:
(ii) Para 0<a<1.

Passo 1

O enunciado que foi passado é curto e diz apenas: determinar o domínio das funções, parte (ii) "Para 0<a<1".
Informações que temos do enunciado:
  • Há um parâmetro a com 0<a<1.
  • O que se pede é “determinar o domínio das funções” (presumidamente de alguma função dependente de a).
O que falta (informação necessária):
  • A expressão explícita da(s) função(ões). Sem a fórmula da função não é possível obter um domínio único e correto.

Passo 2

Por que não dá para responder diretamente: o domínio depende da expressão da função. Diferentes operações na função (divisão, raiz, logaritmo, potência com expoente real, etc.) impõem restrições distintas sobre x. Sem saber que operações aparecem na função, não há como determinar quais restrições valem, logo não há como dar um domínio preciso.

Passo 3

Mesmo sem a função, é útil aprender um procedimento geral e as regras que normalmente surgem ao determinar domínio. Aqui vai um guia prático — siga estes passos quando a função for conhecida.
Regra geral (passos a seguir na prova)
  1. Identificar todas as expressões que impõem restrição (denominadores, radiciação de índice par, logaritmos, expoentes reais, frações com raiz no denominador, etc.).
  2. Para cada uma, escrever a condição que garante validade (por exemplo: denom ≠ 0, argumento do log > 0, radicando ≥ 0 quando o índice é par, etc.).
  3. Resolver as desigualdades/equações que surgirem.
  4. Interseccionar todas as condições (tomar apenas os x que satisfazem todas).
  5. Remover pontos isolados que causem problemas (ex.: zeros do denominador).

Passo 4

As restrições mais comuns e como tratá‑las (com explicações didáticas):
  • Divisão: se aparece \dfrac{A(x)}{B(x)}, então é necessário \;B(x)\neq 0. Exemplo de resolução: resolver B(x)=0 e excluir essas raízes.
  • Radiciação com índice par: se aparece \sqrt[n]{R(x)} com n par (ex.: n=2), exige-se \;R(x)\ge 0. Para n ímpar não há restrição de sinal (raízes ímpares aceitam negativo).
  • Logaritmo: se aparece \ln(R(x)) (ou \log), exige-se \;R(x)>0.
  • Potência com expoente real a: expressão x^{a} pede cuidado:
    • Se a é um número real não racional simples, a forma real mais segura é exigir x>0 (para evitar valores complexos quando x negativo e a irracional).
    • Se a=\dfrac{p}{q} em termos de fração reduzida:
      • Se q é par, então precisa x\ge 0 (ex.: x^{1/2}=\sqrt{x}).
      • Se q é ímpar, então \sqrt[q]{x} aceita x negativo; portanto valores negativos podem ser permitidos (ex.: x^{2/3}=(\sqrt[3]{x})^2 definido para todo x).
    • Como 0<a<1 o expoente é fracionário positivo; normalmente isso tende a restringir a x\ge0 ou x>0, dependendo se o denominador da fração é par/ímpar ou se a é irracional.

Passo 5

Modelos resolvidos (para aprendizado): cada modelo mostra exatamente como pensar numa prova.
Modelo A — raiz: f(x)=\sqrt{x-a}.
Condição: o radicando deve ser não negativo.
x-a\ge 0
Resolve-se:
x\ge a.
Como 0<a<1, isso significa x\ge a (um pequeno número positivo). Então o domínio é \{x\in\mathbb{R}\mid x\ge a\}.
Modelo B — divisão: f(x)=\dfrac{1}{x-a}.
Condição: denominador não nulo.
x-a\neq 0 \quad\Rightarrow\quad x\neq a.
Domínio: \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq a\}.
Modelo C — logaritmo: f(x)=\ln(x-a).
Condição: argumento positivo.
x-a>0 \quad\Rightarrow\quad x>a.
Domínio: \{x\in\mathbb{R}\mid x>a\}.
Modelo D — potência fracionária: f(x)=x^{a} com 0<a<1.
  • Se a for irracional (ou fração com denominador par), normalmente exige x>0 para que a potência seja real.
  • Se a=\dfrac{p}{q} em forma reduzida com q ímpar, então a expressão é definida para todo x real (porque \sqrt[q]{x} existe para negativos quando q é ímpar).
    Exemplo concreto: se a=\tfrac{1}{2}, domínio x\ge 0. Se a=\tfrac{2}{3} (denominador 3 ímpar), a função x^{2/3} está definida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 6

Checklist rápido para usar na prova (mentalmente):
  • Veja se há divisão → excluir zeros do denominador.
  • Veja se há raiz de índice par → exigir radicando \ge 0.
  • Veja se há log → exigir argumento >0.
  • Veja potências com expoente real → traduzir para condição em função da natureza do expoente (racional com denominador par/ímpar, ou irracional).
  • Resolva as desigualdades resultantes com cuidado (métodos: isolar, fatorar, analisar sinais).
  • Interseccione todas as condições e escreva o domínio como intervalo(s).

Passo 7

Resumo final: sem a expressão da(s) função(ões) não há como dar um domínio único e correto. O que eu acabei de fazer foi mostrar o procedimento e exemplos que você pode aplicar imediatamente quando tiver a função completa em mãos. Se a função contiver radicais, logs, divisões ou potências, siga o checklist e os modelos acima.

Resposta

Não é possível determinar o domínio porque o enunciado não fornece a expressão da(s) função(ões).

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