Considere a função f definida por f(x)=\left\{\begin{array}{c}1, \text { se } x \leq 0 \\\\ -1, \text { se } x>0\end{array}\right.. Investigue a existência dos limites: \lim _{x \rightarrow 0} f(x) e \lim _{x \rightarrow 0} x^{2} f(x).

Passo 1

Vamos resumir o enunciado. Temos a função
f(x)= \begin{cases} 1,&\text{se }x\le0,\\\\ -1,&\text{se }x>0. \end{cases}
O objetivo é estudar os limites em x\to0 de (a) \lim_{x\to0}f(x) e (b) \lim_{x\to0}x^2f(x). O conteúdo principal envolve análise de limites laterais e uso da definição de limite.

Passo 2

Para investigar \lim_{x\to0}f(x), precisamos calcular os limites laterais
\lim_{x\to0^-}f(x) e \lim_{x\to0^+}f(x). Se esses dois forem iguais, esse é o limite; caso contrário, o limite não existe.

Passo 3

Quando x\to0^-, temos x\le0 próximo de 0, logo
\lim_{x\to0^-}f(x)=1.
Quando x\to0^+, temos x>0 próximo de 0, logo
\lim_{x\to0^+}f(x)=-1.

Passo 4

Como
\lim_{x\to0^-}f(x)=1\neq -1=\lim_{x\to0^+}f(x), concluímos que
\displaystyle\lim_{x\to0}f(x) não existe.

Passo 5

Agora estudamos \lim_{x\to0}x^2f(x)\). Note que para todo \(x\), \[x^2f(x)= \begin{cases} x^2,&x\le0,\\\\ -\,x^2,&x>0. \end{cases}
Em módulo, \bigl|x^2f(x)\bigr|=x^2\], que tende a \(0 quando x\to0. Mais formalmente, calculamos os laterais:

Passo 6

Quando x\to0^-, x^2f(x)=x^2\to0.
Quando x\to0^+, x^2f(x)=-x^2\to0.
Como os dois limites laterais são iguais a 0, temos
\lim_{x\to0}x^2f(x)=0.

Resposta

\displaystyle\lim_{x\to0}f(x) não existe.
\displaystyle\lim_{x\to0}x^2f(x)=0.

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