Usando o método da substituição inversa, encontre uma mudança de variáveis x=g(t) que elimina a raiz do integrando (não é necessário resolver a integral resultante neste momento. Mas, de todo modo, tente!)
\int \sqrt{x^{2}-1} d x.

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int \sqrt{x^{2}-1}\,dx
e orienta usar o método da substituição inversa para eliminar a raiz do integrando. O conteúdo é mudança de variáveis: escolhemos uma t=f(x) que simplifique o radical e depois invertemos para x=g(t).

Passo 2

Tomamos
t = \sqrt{x^{2}-1}\,.
Para obter a substituição inversa, resolvemos em x:
t^{2} = x^{2}-1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} = t^{2}+1 \quad\Longrightarrow\quad x = \sqrt{t^{2}+1}.
Assim a mudança de variáveis é
x = g(t) = \sqrt{t^{2}+1}\,.

Passo 3

Calculamos dx e expressamos o radical em função de t:
x = (t^{2}+1)^{1/2} \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}}\,dt,
e como \sqrt{x^{2}-1}=t, a integral vira
\int \sqrt{x^{2}-1}\,dx = \int t\;\frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}}\,dt = \int \frac{t^{2}}{\sqrt{t^{2}+1}}\,dt.

Passo 4

Para integrar
\int \frac{t^{2}}{\sqrt{t^{2}+1}}\,dt
usamos t^{2}=(t^{2}+1)-1, ficando
\int \frac{t^{2}}{\sqrt{t^{2}+1}}\,dt = \int \sqrt{t^{2}+1}\,dt - \int \frac{1}{\sqrt{t^{2}+1}}\,dt.

Passo 5

Aplicamos as primitivas conhecidas:
\int \sqrt{t^{2}+1}\,dt = \frac12\Bigl(t\sqrt{t^{2}+1}+\ln(t+\sqrt{t^{2}+1})\Bigr)+C_{1},
\int \frac{dt}{\sqrt{t^{2}+1}} = \ln(t+\sqrt{t^{2}+1})+C_{2}.
Subtraindo,
\int \frac{t^{2}}{\sqrt{t^{2}+1}}\,dt = \frac12\,t\sqrt{t^{2}+1} - \frac12\,\ln\bigl(t+\sqrt{t^{2}+1}\bigr) + C.

Passo 6

Voltando a x pela relação t=\sqrt{x^{2}-1}, obtemos
\int \sqrt{x^{2}-1}\,dx = \frac12\,x\sqrt{x^{2}-1} - \frac12\,\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}-1}\bigr) + C.

Resposta

A substituição inversa que elimina a raiz é
\boxed{x = \sqrt{t^{2}+1}\,.}
Além disso, a primitiva encontrada é
\int \sqrt{x^{2}-1}\,dx = \frac12\,x\sqrt{x^{2}-1} - \frac12\,\ln\!\bigl(x+\sqrt{x^{2}-1}\bigr) + C.

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