Usando o método da substituição inversa, encontre uma mudança de variáveis x=g(t) que elimina a raiz do integrando (não é necessário resolver a integral resultante neste momento. Mas, de todo modo, tente!)
\int_{0}^{2 / 3} \sqrt{4-9 x^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para eliminar a raiz
\sqrt{4 - 9x^2}
no integral
\int_{0}^{2/3} \sqrt{4 - 9x^2}\,dx
usando uma mudança de variável x = g(t). Como temos uma expressão do tipo \sqrt{a^2 - (b\,x)^2}, o conteúdo aqui é substituição trigonométrica.

Passo 2

Escolhemos
x = \frac{2}{3}\,\sin(t),
pois então
9x^2 = 9\cdot\frac{4}{9}\sin^2(t) = 4\sin^2(t)
e a raiz vira
\sqrt{4 - 9x^2} = \sqrt{4 - 4\sin^2(t)} = 2\cos(t).
Além disso,
dx = \frac{2}{3}\cos(t)\,dt.

Passo 3

Precisamos também transformar os limites:
quando x=0, temos 0 = \tfrac{2}{3}\sin(t) \Rightarrow t=0;
quando x=\tfrac{2}{3}, temos \tfrac{2}{3} = \tfrac{2}{3}\sin(t) \Rightarrow \sin(t)=1 \Rightarrow t=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Substituindo tudo na integral, obtemos
\int_{0}^{2/3} \sqrt{4-9x^2}\,dx = \int_{t=0}^{t=\pi/2} \bigl(2\cos(t)\bigr)\,\Bigl(\tfrac{2}{3}\cos(t)\,dt\Bigr) = \frac{4}{3}\int_{0}^{\pi/2} \cos^2(t)\,dt.

Passo 5

Para resolver
\int_{0}^{\pi/2} \cos^2(t)\,dt
usamos a identidade \cos^2(t)=\tfrac{1+\cos(2t)}{2}, então
\int_{0}^{\pi/2}\cos^2(t)\,dt = \int_{0}^{\pi/2}\frac{1+\cos(2t)}{2}\,dt = \left[\frac{t}{2} + \frac{\sin(2t)}{4}\right]_{0}^{\pi/2} = \frac{\pi}{4}.
Logo a integral original vale
\frac{4}{3}\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3}.

Resposta

A mudança de variável que elimina a raiz é
x = \frac{2}{3}\sin(t),
tendo então
\int_{0}^{2/3} \sqrt{4-9x^2}\,dx = \frac{4}{3}\int_{0}^{\pi/2}\cos^2(t)\,dt = \frac{\pi}{3}.

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