Encontre uma solução particular da equação inicial
y^prime prime(x)-3 y^prime(x)+2 y(x)=(6 x^2-4) e^2 x

Passo 1

No primeiro passo, a gente resume o enunciado: temos a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''(x)-3y'(x)+2y(x)=(6x^2-4)e^2x
O conteúdo é o método dos coeficientes a determinar para achar uma solução particular.

Passo 2

Começando a parte prática, resolvemos a equação característica da homogênea associada
r^2-3r+2=0
que tem raízes r=1 e r=2. Como o termo forçante é da forma P(x)e^{2x} e 2 é raiz simples (multiplicidade m=1) da homogênea, precisamos multiplicar a nossa tentativa por x^m = x.

Passo 3

Logo, propomos uma solução particular da forma
yp(x)=xl(Ax^2+Bx+Cr)e^2x = (Ax^3+Bx^2+Cx)e^2x,
onde A, B e C são constantes desconhecidas.

Passo 4

Agora vamos calcular as derivadas. Definindo U(x)=Ax3+Bx2+Cx, temos
yp=Ue^2x,
yp'=l(U'+2Ur)e^2x,
yp''=l(U''+4U'+4Ur)e^2x
Substituindo em y’’-3y’+2y vemos que só sobra
(yp''-3yp'+2yp)=l(U''+U'r)e^2x

Passo 5

A condição para y_p ser solução é
U''(x)+U'(x)=6x^2-4
Como U(x)=Ax3+Bx2+Cx, calculamos
U'(x)=3Ax^2+2Bx+C,
U''(x)=6Ax+2B,
então
U''+U'=3Ax^2+(6A+2B)x+(2B+C)
deve ser igual a 6x^2-4.

Passo 6

Igualando coeficientes polinomiais, temos
3A=6, 6A+2B=0, 2B+C=-4
Resolvendo, achamos A=2, B=-6 e C=8.

Passo 7

Portanto
U(x)=2x^3-6x^2+8x
e a solução particular buscada é
yp(x)=(2x^3-6x^2+8x)e^2x

Resposta

y_p(x)=(2x3-6x2+8x)e^{2x}

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