Encontre uma solução particular da equação inicial
Passo 1
No primeiro passo, a gente resume o enunciado: temos a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo é o método dos coeficientes a determinar para achar uma solução particular.
Passo 2
Começando a parte prática, resolvemos a equação característica da homogênea associada
que tem raízes r=1 e r=2. Como o termo forçante é da forma P(x)e^{2x} e 2 é raiz simples (multiplicidade m=1) da homogênea, precisamos multiplicar a nossa tentativa por x^m = x.
Passo 3
Logo, propomos uma solução particular da forma
onde A, B e C são constantes desconhecidas.
Passo 4
Agora vamos calcular as derivadas. Definindo U(x)=Ax3+Bx2+Cx, temos
Substituindo em y’’-3y’+2y vemos que só sobra
Passo 5
A condição para y_p ser solução é
Como U(x)=Ax3+Bx2+Cx, calculamos
então
deve ser igual a 6x^2-4.
Passo 6
Igualando coeficientes polinomiais, temos
Resolvendo, achamos A=2, B=-6 e C=8.
Passo 7
Portanto
e a solução particular buscada é
Resposta
y_p(x)=(2x3-6x2+8x)e^{2x}