Considere a função f definida pela regra f(x)=x^4-2 raizln x, para x >= 2.
Se f^-1 é sua inversa, encontre d f^-1d x(e^4).

Passo 1

A questão dá a função f no domínio x\u22652 por f(x)=x^4−2\sqrt{\ln x} e pede (f{−1})’(e4), ou seja, a derivada da inversa de f avaliada em e^4. O conteúdo é “derivada de função inversa” e vamos precisar da fórmula que relaciona (f^{−1})’ com f’.

Passo 2

Como f é diferenciável e estritamente crescente em [2,∞), vale a fórmula
(f^−1)'(y)=1f'(f^−1(y))

Passo 3

Precisamos do f’(x). Derivando f(x)=x^4−2\sqrt{\ln x}, temos: primeiro x^4 \to 4x^3 e depois −2\sqrt{\ln x}. Como \sqrt{\ln x}=(\ln x)^{1/2},
ddxl(2raizln xr)=2cdot12(ln x)^−1/2cdot1x=1xraizln x
Logo,
f'(x)=4x^3−1xraizln x

Passo 4

Aplicando agora a fórmula da inversa em y=e^4, chamando a=f{−1}(e4), obtemos
(f^−1)'(e^4)=1f'(a)=14a^3−tfrac1araizln a,
onde a é o único x\u2208[2,∞) tal que x^4−2\sqrt{\ln x}=e^4.

Resposta

(f{−1})’(e4)=\displaystyle \frac{1}{4,a^3-\frac{1}{a\sqrt{\ln a}}}, em que a=f{−1}(e4) satisfaz a^4-2\sqrt{\ln a}=e^4.

Exercícios relacionados