Considere a função
definida pela regra
, para
.
Se
é sua inversa, encontre
.
Se
Passo 1
A questão dá a função f no domínio x\u22652 por f(x)=x^4−2\sqrt{\ln x} e pede (f{−1})’(e4), ou seja, a derivada da inversa de f avaliada em e^4. O conteúdo é “derivada de função inversa” e vamos precisar da fórmula que relaciona (f^{−1})’ com f’.
Passo 2
Como f é diferenciável e estritamente crescente em [2,∞), vale a fórmula
Passo 3
Precisamos do f’(x). Derivando f(x)=x^4−2\sqrt{\ln x}, temos: primeiro x^4 \to 4x^3 e depois −2\sqrt{\ln x}. Como \sqrt{\ln x}=(\ln x)^{1/2},
Logo,
Passo 4
Aplicando agora a fórmula da inversa em y=e^4, chamando a=f{−1}(e4), obtemos
onde a é o único x\u2208[2,∞) tal que x^4−2\sqrt{\ln x}=e^4.
Resposta
(f{−1})’(e4)=\displaystyle \frac{1}{4,a^3-\frac{1}{a\sqrt{\ln a}}}, em que a=f{−1}(e4) satisfaz a^4-2\sqrt{\ln a}=e^4.