Considere a função
. Encontre o domínio, intervalos de crescimento, decrescimento, concavidades, extremos locais, pontos de inflexão, assíntotas e esboce o gráfico desta função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = \frac{\ln x}{x} $ e precisa descobrir várias coisas sobre ela, como onde ela está definida, onde cresce ou decresce, suas concavidades, pontos extremos, inflexões, assíntotas e até desenhar o gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e propriedades das funções logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Aqui, temos o logaritmo natural $ \ln x $, que só está definido para $ x > 0 $. Além disso, o denominador $ x $ também não pode ser zero. Então, o domínio é $ x > 0 $.
Passo 3
Agora, vamos descobrir os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada $ f’(x) $. Usando a regra do quociente:
Para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal de $ f’(x) $:
- $ f’(x) > 0 $ quando $ 1 - \ln x > 0 $ $ \Rightarrow \ln x < 1 $ $ \Rightarrow x < e $
- $ f’(x) < 0 $ quando $ \ln x > 1 $ $ \Rightarrow x > e $
Então, a função cresce em $ (0, e) $ e decresce em $ (e, +\infty) $.
Passo 4
Vamos encontrar os extremos locais. Os extremos acontecem onde $ f’(x) = 0 $ ou onde a derivada não existe. No nosso caso, $ f’(x) = 0 $ quando $ 1 - \ln x = 0 $, ou seja, $ \ln x = 1 $, o que dá $ x = e $. Como a função passa de crescente para decrescente nesse ponto, $ x = e $ é um ponto de máximo local.
Passo 5
Agora, vamos analisar a concavidade da função e encontrar os pontos de inflexão. Para isso, calculamos a segunda derivada $ f’’(x) $:
Primeiro, reescrevemos $ f’(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} $.
Usando a regra do quociente novamente:
Para ver onde a concavidade muda, igualamos $ f’’(x) = 0 $:
Então, há um ponto de inflexão em $ x = e^{3/2} $.
Analisando o sinal de $ f’’(x) $:
- $ f’’(x) > 0 $ quando $ \ln x > \frac{3}{2} \Rightarrow x > e^{3/2} $ (concavidade para cima)
- $ f’’(x) < 0 $ quando $ x < e^{3/2} $ (concavidade para baixo)
Passo 6
Vamos identificar as assíntotas da função. Olhando para $ f(x) = \frac{\ln x}{x} $:
- Assíntota vertical: Não existe, já que o domínio é $ x > 0 $ e a função não tende a infinito em $ x \to 0^+ $.
- Assíntota horizontal: Calculamos o limite de $ f(x) $ quando $ x \to +\infty $:
Então, há uma assíntota horizontal em $ y = 0 $.
Passo 7
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função usando as informações que obtivemos:
- Domínio: $ x > 0 $
- Crescimento: $ (0, e) $
- Decrescimento: $ (e, +\infty) $
- Máximo local em $ x = e $
- Concavidade para baixo em $ (0, e^{3/2}) $ e para cima em $ (e^{3/2}, +\infty) $
- Ponto de inflexão em $ x = e^{3/2} $
- Assíntota horizontal em $ y = 0 $
Com isso, dá para desenhar o gráfico mostrando esses comportamentos.
Resposta
A função $ f(x) = \frac{\ln x}{x} $ tem domínio $ x > 0 $, cresce no intervalo $ (0, e) $ e decresce em $ (e, +\infty) $. Possui um máximo local em $ x = e $, um ponto de inflexão em $ x = e^{3/2} $ e uma assíntota horizontal em $ y = 0 $. O gráfico reflete esses comportamentos com concavidades alternadas e o máximo no ponto $ (e, \frac{1}{e}) $.