A função cosh (leia-se cosseno hiperbólico) é definida por
cosh (x)=e^x+e^-x2
Seja g(x)=cosh (x)+1cosh (x).
Determine os valores extremos (máximo e mínimo) de g(x) no intervalo [-1,1].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos de g(x)= cosh(x)+1cosh(x) no intervalo [-1,1], usando derivadas e avaliando extremos em pontos críticos e nos extremos do intervalo.

Passo 2

Vamos derivar g(x). Primeiro note que ddxcosh(x)=sinh(x) e ddxl(1/cosh(x)r)=-sinh(x)cosh^2(x). Logo
[\n g’(x)=\sinh(x)-\frac{\sinh(x)}{\cosh2(x)}=\sinh(x)\Bigl(1-\sech2(x)\Bigr)=\sinh(x)\tanh^2(x)
]

Passo 3

Como tanh^2(x)>=0 sempre, o sinal de g’(x) é o mesmo de sinh(x). Isto implica que g’(x)<0 para x<0 (função decrescente) e g’(x)>0 para x>0 (função crescente). Portanto há um único ponto crítico em x=0, que é um mínimo.

Passo 4

Agora avaliamos g nos pontos x=-1, x=0 e x=1:
[\n g(0)=\cosh(0)+\frac1{\cosh(0)}=1+1=2
]
[\n g(\pm1)=\cosh(1)+\frac1{\cosh(1)}
]

Passo 5

Comparando, o menor valor é g(0)=2, e o maior é g(±1)=$\cosh(1)+\dfrac1{\cosh(1)}.

Resposta

Mínimo em x=0 com g(0)=2. Máximos em x=-1 e x=1 com g(±1)=\cosh(1)+1/\cosh(1).

Exercícios relacionados