A função cosh (leia-se cosseno hiperbólico) é definida por
Seja
.
Determine os valores extremos (máximo e mínimo) de
no intervalo
.
Determine os valores extremos (máximo e mínimo) de
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos de g(x)=
no intervalo [-1,1], usando derivadas e avaliando extremos em pontos críticos e nos extremos do intervalo.
Passo 2
Vamos derivar g(x). Primeiro note que
e
. Logo
[\n g’(x)=\sinh(x)-\frac{\sinh(x)}{\cosh2(x)}=\sinh(x)\Bigl(1-\sech2(x)\Bigr)=\sinh(x)\tanh^2(x)
]
[\n g’(x)=\sinh(x)-\frac{\sinh(x)}{\cosh2(x)}=\sinh(x)\Bigl(1-\sech2(x)\Bigr)=\sinh(x)\tanh^2(x)
]
Passo 3
Como
sempre, o sinal de g’(x) é o mesmo de
. Isto implica que g’(x)<0 para x<0 (função decrescente) e g’(x)>0 para x>0 (função crescente). Portanto há um único ponto crítico em x=0, que é um mínimo.
Passo 4
Agora avaliamos g nos pontos x=-1, x=0 e x=1:
[\n g(0)=\cosh(0)+\frac1{\cosh(0)}=1+1=2
]
[\n g(\pm1)=\cosh(1)+\frac1{\cosh(1)}
]
[\n g(0)=\cosh(0)+\frac1{\cosh(0)}=1+1=2
]
[\n g(\pm1)=\cosh(1)+\frac1{\cosh(1)}
]
Passo 5
Comparando, o menor valor é g(0)=2, e o maior é g(±1)=$\cosh(1)+\dfrac1{\cosh(1)}.
Resposta
Mínimo em x=0 com g(0)=2. Máximos em x=-1 e x=1 com g(±1)=\cosh(1)+1/\cosh(1).