d xd t=x+y
d yd t=5 x+2 y

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes
dxdt=x+y, dydt=5x+2y
O conteúdo é resolução de sistemas lineares de primeira ordem usando o método de autovalores e autovetores. Vamos precisar escrever em forma matricial, achar o polinômio característico, seus autovalores e autovetores e montar a solução geral.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma X'=AX, onde
X=xy, A=1 & 15 & 2

Passo 3

Para encontrar os autovalores lambda, calculamos o determinante
det(A-lambda I)=det1-lambda & 15 & 2-lambda=(1-lambda)(2-lambda)-5
Expandindo, obtemos o polinômio característico
lambda^2-3lambda-3=0

Passo 4

Resolvendo lambda^2-3lambda-3=0 pela fórmula de Bhaskara, vem
lambda=3pmraiz9+122=3pmraiz212
Chamemos esses autovalores de lambda1=tfrac3+raiz212 e lambda2=tfrac3-raiz212.

Passo 5

Para cada lambdai, achamos um autovetor vi resolvendo (A-lambdaiI)vi=0. Por exemplo, para lambda1:
(1-lambda1)x+y=0 Rightarrow y=(lambda1-1)x
Escolhendo x=1, temos o autovetor
v1=1lambda1-1
Analogamente, para lambda2 vem
v2=1lambda2-1

Passo 6

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais:
X(t)=C1e^lambda1 tv1+C2e^lambda2 tv2
Em componentes, isso dá
x(t)=C1e^lambda1 t+C2e^lambda2 t, y(t)=C1(lambda1-1)e^lambda1 t+C2(lambda2-1)e^lambda2 t

Resposta

A solução geral é
x(t)=C1e^tfrac3+raiz212t+C2e^tfrac3-raiz212t, y(t)=C1l(tfrac3+raiz212-1r)e^tfrac3+raiz212t+C2l(tfrac3-raiz212-1r)e^tfrac3-raiz212t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinados pelas condições iniciais.

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