O enunciado nos dá o sistema de EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes
O conteúdo é resolução de sistemas lineares de primeira ordem usando o método de autovalores e autovetores. Vamos precisar escrever em forma matricial, achar o polinômio característico, seus autovalores e autovetores e montar a solução geral.
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma , onde
Passo 3
Para encontrar os autovalores , calculamos o determinante
Expandindo, obtemos o polinômio característico
Passo 4
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara, vem
Chamemos esses autovalores de e .
Passo 5
Para cada , achamos um autovetor resolvendo . Por exemplo, para :
Escolhendo , temos o autovetor
Analogamente, para vem
Passo 6
A solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais:
Em componentes, isso dá
Resposta
A solução geral é
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias determinados pelas condições iniciais.