2 Considere a função y=f(x) definida pela tabela:
\mathbf{x} -2 0 1 2 3
\mathbf{f}(\mathbf{x}) 1,3 2 -2,3 -1,3 2,5
Calcule um valor aproximado para f(0,16).

Passo 1

O enunciado pede um valor aproximado para f(0,16). As informações dadas são os valores de f na tabela:
\begin{array}{c|ccccc} x & -2 & 0 & 1 & 2 & 3\\hline f(x) & 1,3 & 2 & -2,3 & -1,3 & 2,5 \end{array}
Ou seja, valores úteis imediatamente próximos de 0,16 são f(0)=2 e f(1)=-2,3.

Passo 2

Escolhemos aproximar f(0,16) por interpolação linear entre os pontos mais próximos conhecidos, que são (0,\,f(0)) e (1,\,f(1)). Raciocínio: 0,16 está entre 0 e 1, o intervalo é pequeno, e a interpolação linear é o método mais simples e rápido para obter uma boa aproximação no contexto de prova.

Passo 3

Apresento a fórmula da interpolação linear (explicando cada termo). Dados dois pontos (x_0,y_0) e (x_1,y_1), o valor interpolado em x é
y \;=\; y_0 \;+\; \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\,(x-x_0).
Explicação das variáveis:
  • x_0 é o ponto à esquerda conhecido (aqui 0);
  • y_0=f(x_0) é o valor da função nesse ponto (aqui 2);
  • x_1 é o ponto à direita conhecido (aqui 1);
  • y_1=f(x_1) é o valor da função nesse ponto (aqui -2,3);
  • x é o ponto onde queremos aproximar a função (aqui 0,16);
  • \dfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0} é a inclinação da reta que passa pelos dois pontos.

Passo 4

Identificamos os valores dos pontos escolhidos:
x_0=0,\quad y_0=f(0)=2,
x_1=1,\quad y_1=f(1)=-2,3,
e queremos x=0,16.

Passo 5

Calculamos a inclinação (declive) da reta entre os dois pontos:
m=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\frac{-2,3-2}{1-0}=\frac{-4,3}{1}=-4,3.
Comentário simples: isso significa que ao avançar uma unidade em x (de 0 para 1) a função cai 4,3 unidades.

Passo 6

Aplicamos a fórmula da interpolação linear para x=0,16:
f(0,16)=y_0 + m\,(0,16-0)=2 + (-4,3)\cdot 0,16.
Calculamos o produto:
(-4,3)\cdot 0,16 = -0,688.
Portanto
f(0,16)=2-0,688=1,312.

Passo 7

Comentário sobre precisão: a aproximação linear assume que a função é aproximadamente reta entre 0 e 1. Observando os outros pontos da tabela, os declives variam bastante, então pode haver erro não desprezível; mesmo assim, para um ponto tão próximo de 0 (apenas 0,16 de distância), a interpolação linear é uma escolha prática e rápida numa prova.

Resposta

f(0,16)\approx 1,312

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